难点解析丨实际运动中的关联速度问题

难点解析丨实际运动中的关联速度问题

关联速度问题一般是指物拉绳（或杆）和绳（或杆）拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．01

速度规律

绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．

02

解决关联速度问题的一般步骤

第一步：先确定合运动，即物体的实际运动．

第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，这个效果改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，这个效果改变速度的方向．即将实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量．

第三步：按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图．

第四步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解．

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常见的模型

（1）车拉船模型

问题：车拉船运动，车匀速前进，速度为v，当绳与水平方向成α角时，船速v′是多少？

分析：绳与船接触的点M是个特殊的点，此点既在绳上又在船上．在船上，是实际运动（合运动）．在绳上，同时参与两个分运动．

点M从A到B的运动情况比较复杂，为了便于理解和观察，把运动过程等效分解为两个独立的运动过程．

一个是绕滑轮做的圆周运动，这个运动不改变绳长，每一时刻的速度方向都垂直于绳的方向．

另一个是沿着绳的方向做的直线运动，这个运动是由于车拉动绳向O点收缩引起的．

所以点M的速度每时每刻都可以分解为两个速度．

一个是垂直于绳的方向的v1．

另一个是沿着绳的方向的v2．

则有：

v1=v′sin α

v2=v′cos α

车和船都在同一根绳上，由于绳的长度不会改变，所以车和船的实际速度沿绳方向的分速度大小相同．

解决：车在绳上的分速度等于船在绳上的分速度．即

v=v2

v=v′sin α

所以v′=v/sin α

绳子的“关联”速度问题

（2）其他模型

（1）两个物体的绳子末端速度的分解

如下图所示，两个物体的速度都需要分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥=vB∥．

（2）两个物体的硬杆末端速度的分解

如下图所示，a、b沿杆的方向上各点的速度大小相等．

vacos θ=vbcos α

va：vb=cos α：cos θ

杆以及相互接触物体的“关联”速度问题;

【示范例题】

例题1.（单选题）固定在竖直平面内的半圆形刚性铁环，半径为R，铁环上穿着小球，铁环圆心O的正上方固定一个小定滑轮．用一条不可伸长的细绳，通过定滑轮以一定速度拉着小球从A点开始沿铁环运动，某时刻小球运动至如下图所示位置，若绳末端的速度为v，则小球此时的速度为（）

【答案】A

【解析】小球的速度方向沿铁环的切线方向，将小球的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分量，沿绳方向的速度为v，则v′cos 30°＝v，

选项A正确．

点拨:

找准合运动，分解合运动，不能分解分运动．

例题2.（单选题）如下图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（均可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，B球沿槽上滑的速度为vB，则此时A球的速度vA的大小为（）

【答案】D

【解析】根据题意，将A球的速度分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量，同时B球的速度也分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量．则对A球，有v＝vcos α，对B球，有v＝vBsin α，则vAcos α＝vBsin α，所以vA＝vBtan α，选项D正确．

点拨:

对于杆模型（杆连接着物体相互作用的问题），杆端速度通常分解的一般原则为将实际速度（合运动的速度）分解为两个分速度，一个沿杆方向，一个垂直于杆方向．