复旦大学97,98,00,01年数学分析考研试题

复旦大学数学分析1997 一、计算 1.
)
2
sin (1
lim x x x →
2. .,sin 501.122y x x y 求=
3. ⎰+x dx tan 1
4.
,)],cos(),cos([⎰+c
ds y n y x n x 其中从为椭圆
12
2
22=+b y a x ,n 为它的外法线. 5.
⎰⎰D
dxdy y
x
2ln
,D 是由y=x,y=1,x=2围成的三角形. 6. 计算由曲面a y x a y x a y x ±=-±=+=+,,2
2
2
围成的体积(0.70)
(本题共40分,其中第1,2,3小题每小题5分,第4,5小题每小题8分,第6小题9分)
二、讨论下列级数的收敛性。

dx x x n n
∑⎰∞
=+1
01sin π dx n
n n ∑
∞
=8
ln 12sin
π (本题共15分,其中第1小题7分, 第2小题8分,) 三、在平面直角坐标系oxy 中有一以y 轴为对称轴的抛物线，他与oxoy 两正半轴的交点分别为AB 。

当OB OA +为定值时，为使这段抛物线与两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转得到的立体体积最大，OB OA :应取何值。

（本题共15分）
四、设f 在[0，1]连续，
f （1）=0，,...3,2,1,)()(==n x x f x
g n
n 证明{ n g }在[0，1]上一致收敛 （本题15分）
五、设f 在（0，∞）连续，⎰=∞→x
x dt t f x 0.0)(1lim 证明：
0)(lim =∞
→x f x （本题15分）
复旦大学数学分析1998 1．（每小题8分，共48分） （1） 求极限x
x x
x 1
)1ln(lim
1
0-+→。

（2） 通过代换⎪⎩
⎪
⎨⎧-==)(212
2v u y uv x ，变换方程2
2
221)()(
y
x y
z
x z +=∂∂+∂∂
（3） 设,2
0π
<
≤x 证明不等式.3tan sin 2x x x ≥+ （4） 求不定积分
⎰
+x
e
dx 1
（5） 求定积分
)(,)1
(ln 自然数n dx x
n ⎰
（6） 求积分
dx y
x dy y y
⎰
⎰
-++2
042
2
2
11
2.在椭圆4422=+y x 上求一点,使到直线1243=+y x 的距离为最短.(10分)
3.对级数
∑∞
=-1
n nx
ne
指出他的收敛范围,讨论它的一致收敛
性,并求和.(10分)
4.设L 是单位圆周: 122=+y x ,方向为逆时针.求积分:
⎰+++-L
y
x dy
y x dx y x 224)4()( .(10分) 5. {{}
,2,1|),,(2
2
1V S z y x z y x V =<<+=
求积分
,)(22zdxdy y x yzdzdx S
⎰⎰
++
积分延外法线方向.(10分) 6.计算).,0(,)cos ln(sin )(20
222∞∈+=
⎰
ααπ
dx x d x I
要求说明计算方法的合理性.(12分)
复旦大学数学分析2000
1. 求极限:
⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-+∞
→x x x x x 1ln lim 2
. 2. 计算积分:
⎰
1
2a r c t a n x d x
x .
3. 设()y x f ,具有连续偏导数,满足())0,1(1,0f f =,证
明:必存在一点()y x ,,0>x ,0>y ,12
2
=+y x ,满足
方程
()()y x xf y x yf y x ,,=.
4. 计算积分:
(
)
⎰⎰+D
dxdy y x
其中区域(){
}
1,0,0:,<+>>=y x y x y x D .
5. 问交错级数
()
∑∞
=+-1
1
1n n n x 是否绝对收敛的话,请证明
之;不一定收敛的话,请举出反例. 6. 问
∑
∞
=1
cos sin n n
nx
x 关于x 在()+∞∞-,是否一致收敛?
证明你的论断.
7. 计算第二类曲线积分
()()
⎰
+++++L
dy
y x x xy y dx y x 2222ln ,
其中(){}π≤≤==x x y y x L 0,s i n :,.,方向为
()()0,0,0π→.
8. 利用Lagrange 乘数法,求平面0=++z y x 与椭球面
14222=++z y x 所截的椭圆的面积.
复旦大学数学分析2001
1. 求极限
)
12(ln lim
22
11---→x e x x x
（12分）
2．已知)(0)(,0)0(+∞<<-∞><x x f f n
，证明
x
x f )(分别在（),0()0,+∞∞-与上都是严格单调增加函数。

（12分） 3．设
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，∞
→x l i m ,1)(=x g 问积分
⎰
+∞
a
x f )(dx x g )(是否一定收敛？收敛的话，请证明之；
不一定收敛的话，请举出反例。

（12分）
4．设),(y x z z =是由隐函数0),(=++
x
z
y y z x F 确定，求表达式y
z
y
x z x
∂∂+∂∂，并要求简化之。

（12’ 5．用L a g r a n g e
乘数法，解2
),,(42
2
z y x z y x f ++=在
1=xyz 条件下的极值问题。

（13分） 6．求曲面xyz z y x 3)(3
22
2
=++所围区域的体积。

（13分）
7．证明：6
11
ln 21
0π=
-⎰dx x x （推导过程要说明理由）。

（13分）
8．将),0(,sin π∈=x x y 展开成余弦级数，并求级数
∑+∞
=+--12
1
1
4)1(n n n 的和。

（13分）。