【PPT】一维无限深势阱(讨论课).

E n ( 2n 1)
2 2
2ma 2
a 或 m 很大（宏观）
E 0（E 连续），
a E m
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
4 x
E4
4 x
2
4
3 x
E3
a 2
2a 3
n4
3 x
2
n3
a
0
n x A sin ( )dx 1 a
2
n( x)
2 n sin x a a
2
( n 1,2,3, )
概率密度
2 2 n Wn ( x) n ( x) sin x a a
考虑到振动因子
n ( x, t ) n ( x )
i En t e
2 ( x,t ) －i E( x, t ) 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 t x 自由粒子非相对论情况下：
2 px m 2 E Ek vx 2 2m
自由粒子波函数满足的微分方程：
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
自学一维无限深方形势阱内容,并讨论以下问题：
1. 一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子 将如何运动？ 2. 波函数求解步骤。 3. 波函数是如何描述粒子的状态的？ 4. 量子化是如何得到的？ 5. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？ 6. 比较经典结果与量子结果。
势函数
U ( x ) 0 (0 x a ) U ( x ) ( x 0， x a )
2 d T(t ) 1 1 2 ( U (r )(r ) E 则 i dt T (t ) (r ) 2m
全部是时间函数
全部是空间函数
=常数
－振动因子 式中常数E具有能量量纲，C 可以是复数。
与自由粒子波函数形式类比
d T(t ) i ET (t ) dt
E
U=0
E
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ 无限深方势阱
金属
x
限
x
a
是实际情况的极端化和简化
粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运 动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。
用薛定谔方程处理问题：
根据具体问题列出定态薛定谔方程
求出薛定谔方程的通解——即波函数 根据波函数应满足的自然条件定出边界条件 求出薛定谔方程的特解 根据波函数应满足的归一化条 件写出定态波函数 对量子力学处理的结果进行分析
x1
2
a
例:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限 深势阱中,试求: (1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n=1和 n的情况进行讨论. (2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?
解:(1) 定态波函数 概率密度
n
n ( x)
2
2 n sin x L L
2 2 nx sin , L L
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的， n =1, 2, 3, … （量子数） 存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二 象性这种固有属性所决定的。
2
粒子在0 x L4区间内出现的概率:
P

L 4 0
n
dx
P

L 4 0
n
2
dx

L 4 0
2 2 n si n x dx L L
1 1 n sin 4 2n 2
1 1 n P sin 4 2 n 2
n1
n
1 1 P 9 4 2 1 P 4
(a ) 0 sin ka 0 ，（B 0）
(a ) 0 sin ka 0 ，（B 0）
2mE k 2
2
ka n,
(k 0)
n k , n 1,2,3, a
能量量子化并不是强行假设, 而是方程求解 的自然结果
能量本征值（能级）
U→∞
U(x)
U→∞
定态薛定谔方程
阱内：
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ
x
2 d2 ( x ) E( x ) 2 2m dx
令
k
2
2mE 2
得 ( x ) k 2( x ) 0
2 d2 [ ]( x ) E( x ) 2 2m dx
阱外：
( x ) k ( x ) 0
势场中的薛定谔方程
若粒子在势场中，势能函数为U(x,t) ， p2 则 E U ( x, t ) 2m
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
2 2 i 2 U t 2m x
一维势场中的薛定谔方程
i En t e
（驻波解）
n ( x, t ) 称为能量本征波函数
它所描写的粒子的状态称作粒子的能量本征态 (energy eigenstate) 概率密度：
| n ( x, t ) |2 | n ( x) |2
重新理解能量量子化
粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的概率为零
0
由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的 值也必为零。 允许的波长为: 2a n n 1, 2, 3, . . . n h h n 粒子的动量 pn n 2a 2 2 pn h 能量 E n n2 2m 8ma 2
自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数：
( x, t ) Ae
i ( p x x E t)
对时间微分,得到方ຫໍສະໝຸດ ( x,t ) －i E( x, t ) t 对空间微分二次,得到方程
( x,t ) i p ( x, t ) x x
2 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 x
给定 U ( r , t )，解该方程就能给出 (r , t ) 。
关于薛定谔方程的讨论
2 2 i (r , t ) [ U (r , t )] (r , t ) t 2m
—薛定谔方程
1.如果已知粒子质量m及势函数U的具体形式.则可 写出具体的薛定谔方程。它是一个二阶偏微分方程, 若给定初始条件和边界条件即可求解. 2.薛定谔方程是‚建立‛，不是导出，薛定谔方程是 量子力学的一个‚基本假定‛，是否正确，由实验检 验。 3.薛定谔方程的局限：非相对论； Dirac:相对论方程 没有自旋
比较经典结果与量子结果
经典结果
①粒子的速度，能量是 任意的
量子结果
①能量是量子化的。
②粒子在阱内匀速运动， 或静止
③粒子在各处概率相等 ④粒子在x1—x2之间的 概率为 x x
2 1
②粒子能量不为零，粒 子无法静止。
③粒子出现的概率为 n x ④粒子在x1—x2之间的 概率为 2 x2 n dx
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 1933年获诺贝尔物理 学奖
薛定谔建立方程的思路： 我们已经知道的自由粒子波函数的数学式
谔自 方由 程粒 的子 建薛 立定
它满足什么样的动力学方程？
谔势 方场 程中 的的 建薛 立定
一般的粒子应该满足什么样的动力学方程？
解为 T ( t ) Ce
i Et
2 2 [ U ( r )]( r ) E( r ) 2m
称为定态薛定谔方程
定态波函数
i Et E (r , t ) C E (r ) e
二、一维无限深势阱（讨论课）
U=U0 U(x) U=U0 极 U→∞ U(x) U→∞
n 2,6,10,
L4处的概率密度极大.
三、有限宽势垒和隧道效应
有限宽势垒
势函数
0 U（x ) { U0 x0 x0
入射
U(x)
U0
透射?
E
反射
入射能量 E <U0
Ⅰ区
1
0 Ⅱ区
2
x
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0)。 量子：电子可透入势垒。 电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
3
2 x
E2
E1
2 x
1 x
2
n2
2
2 a
1 x
n1
o
a
1 2a
o
a
定态波函数是驻波形式,边界处是波节.
n时
量子经典 玻尔对应原理
|n | 2
n很大
En
0
a/2
讨论以下问题：
1. 一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子 将如何运动？ 2. 波函数求解步骤。 3. 波函数是如何描述粒子的状态的？ 4. 量子化是如何得到的？ 5. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？ 6. 比较经典结果与量子结果。
2 2 2 2 三维： i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
引入拉普拉斯算符： 2
2 x
2

2 y
2

2 z 2
2 2 U (r , t )] (r , t ) 则有： i (r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程。