科学与工程计算方法-2014

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湖南大学课程考试试卷

课程名称：科学与工程计算方法；课程编码： ；试卷编号： ；考试时间：120分钟

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三、 现有一个电路如下图：

利用基尔霍夫定律可得出电流i 1, i 2, i 3之间的关系：

1231231

23842204188028150

i i i i i i i i i --=⎧⎪

-+-=⎨⎪--+=⎩ （1）请分别给出求解

的Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式。（10分）

（2）请指出（1）中两种迭代格式各自的收敛性，并说明理由。（4分）

（3）请由初始解()()()()

()()T

T

0000123,,0,0,0i i i ==i 开始，给出Gauss-Seidel 迭代的第一步迭代

结果。（5分）

四、一个滑块被牵引机构牵引，在水平面上做直线运动。现测得不同时刻t i 时滑块的位移s i 如下表。

（1）请给出二次Lagrange 插值多项式，并估计t = 4.5 秒时滑块的位移近似值（6分）

（2）通过对牵引机构的工作原理分析可知，滑块位移能被关系式()210e

t s t at bt -=+-足够好地描述。请据此估计（1

）中所得近似值的误差限。（5分） （3）现在通过进一步测量，又得到了如下两组新数据：

请在（1）所得结果的基础上，利用四次Newton 插值多项式更新t = 4.5 s 时滑块位移的近似值。请给出完整的差商表。（7分）

3

五、在一个小岛上栖息着象龟。由于受到环境限制（如有限的食物资源、栖息地空间大小等），象龟的数量受到限制。通过研究发现，象龟数量p (t ) 满足如下常微分方程：

现在已知在研究开始时刻t = 0时，岛上的象龟数量为p (0) = 2000只。参数G = 10-4 (只·年)-1，p max = 10000只。

（1）请分别利用显式Euler 法和改进Euler 法估计1年后岛上象龟的数量，步长取h = 0.5年。（12分）

（2）以上两种算法中，哪种算法得到的估计值较为准确些？ 你还能建议一些精度更高的算法吗？ (5分)

六、 针对非线性方程 0cos 2312=+-x x 的数值求解问题，自动化1班的李同学选用了以下的算法：

(1) 李同学随便选了个初值x 0 ，采用以上算法不断进行迭代运算，请问他最终能得到方程的准确解吗？（请用数学推导来证明你的观点）（6分）

(2) 如果你认为李同学的这个算法是收敛的，请问该算法是线性收敛还是平方收敛？如果你认为这个算法是不收敛的，请你给出一个收敛的数值算法（5分）

七、设有互异节点 ）（n L i x i ,,,1,0 = 请证明：

000n j j n i i j j i

x x x ≤≤=≠⎛

⎫

⎪

= ⎪- ⎪⎝⎭

∑∏ （8分）

k

k x x cos 3

2

41+=+()p p p G dt

dp

⨯-⨯=max