悬臂梁固有频率的计算

现罗列如下： 1丨=1.875104,讨=4.694091,
'丨=7.854757, ■ 4^ 10.995541，冷丨=14.1372 ；
若相对于哨C 2
值表示为C 2n
，根据式中的C 1
"，C 2
^可以表示为
C 2"
= 6（册刖）；
悬臂梁固有频率的计算
试求在X = 0处固定、X =1处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）
解：法一：欧拉-伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为：
EI 叫刀+ Jw^t ）二o
& a
悬臂梁的边界条件为: dw c w w(x=0)=0(1),£(x=0)=
0(2)，x 2
w = 0(3), (El —2- X ± :X :' X
该偏微分方程的自由振动解为 w （x, t ）二W （x ）T （t ），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 W(x)二 G cos : x C 2sin : x C 3cosh : x C 4 sinh : x ，T(t)二 Acos wt Bsin wt ；其中：4 :：A 2 EI
将边界条件（1）、（ 2）带入上式可得 C 1+C 3=0，C 2 + C 4=0 ；进一步整理可得 W （x ） =G （cos Px —cosh 卩
x ）+C 2（s in Px —si nh ®x ）；再将边界条件（3 ）、（ 4）带入可得 -C 1 （cos : l cosh ：丨）- C 2（sin :丨 sinh ：丨）=0 ； -Cd - sin 11 sinh ：丨）
- C 2（cos : l cosh ：丨）
=0 要 求C i 和
C 2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即 -(cosBl +cosh B l) -(sin B l+sinhBl) -(-sin P l+sinhPl)
-(cos P l+cosh P l) 所以得到频率方程为.COS (:n l)COSh (:n l) =-1 .该方程的根n l 表示振动系统的固有频率: W n =( :n l)2
(-TA7)2
,n
=12…满足上式中的各
'n
l （n 二1,2
,…）的值在书P443表8.4中给出,
因此 Wi(x) =C 1n |(cosB n x —cosh B n x) -
— (sin B n x-sinh B n x)〔 n = 1,2,...由此可得 sin E n l+sinhE 」
到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将 n=1,2,3,4,5带入可得：
1 1 1
2
EI 2
2
El 专
2
El 专
“ =1.875104 (
4)2,
2=
4.694091 (
4 )2,
・3 =7.854757 (
4 )2
，
WW ，
^Al
Z 。

9955412
(号)2
，“14.
13722
(冷尸；
法二、铁摩辛柯梁梁理论
1.悬臂梁的自由振动微分方程:
多自由度系统频率的计算方法
邓克莱公式为:
设方程的通解为：
n
兀x
w(x,t)=Csin cosw n t ；易知边界条件(1)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可
边界条件:
w(x =0) = (x =0) =0( 1)
雲」卫
■Cx x 土 ex x —1~ =0(2)
；
得到频率方程为：
4 “4
2
n 2
二2r 2
n 2
二2r 2
E : 2n 4
二
4
2 I
2 EI
w n
(kG 「w n (1
l 2 l 2
kQ
l 4
=0 ；其中
，'
；若转
动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为 -4
.x
-t 2 jt 4 =0
otn 2
兀2
/ I T n 2
二 2
§ n=1,2,3,4,5时可分别
w n _ l 2
-
：
「A l 2
；当
等效质量：连续系统悬臂梁简化为
1.邓克莱法
5个相等的集中质量
rni ] = m 2
EI 迤」人叙翌「I (1
c w
p 2 I cw
一：x 2；t 2 kG 求得固有频率为：
.3
3
3
3 . 3
1
»亠
l
81
91
641
l
—2 ft a ii
m
*
a
22
I | *比5 呛 ，其中 a ii =
, a
22
=
, a 33
=
, a
44
=
, 855
=
,
1
375EI
375EI
125EI
375EI
3EI
m
EI 1
m =m 2 =m 3 = m 4 = m 5 = m
；将其代入上式可求得系统的基频为：
w.^ L 2.887( ——)2
5
"I ，此基频比用伯努
2
EI ；
d =1.875104 (——)2
利-欧拉梁求得的一阶固有频率
?AI
偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。

2•瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为
0 0 01 0
0 0 m 0 0
0 m
0 0
0 m —
2
H =1.875104 (
率
-1 3
l 3 4l 3 11 l 3 7l 3
375 EI
150 EI 375 EI 750 EI 375 EI
l 3
8l 3 14 l 3 4l 3 26 l 3
150 EI 375 EI 375 EI 75 EI 375 EI
4
3
14 l 3 9l 3 27 l 3 18 l 3 K =△丄
375 EI
375 EI 125 EI 250 EI 125 EI 11 l 3 4l 3 27 l 3 64 l 3 88 l 3 750 EI 75 EI 250 EI 375 EI 375 EI
7 3
26 l 3 18 l 3 88 l 3 l 3
-
375 EI
375 EI
125 EI
375 EI
3EI
-
51779 _86279 32221 _27000 4500 ]
22 58 54 181 181
_86279 111721 丄24471 94500 -J5750 ■
58 61 93 181 181 EI 32221 丄24471 56221 _26163 14221 产
54 93 32 22 44 ^27000 94500 26163 38279 -82500 181 181 22 31 181
4500 -J5750 14221 -82500 6029 - 181
181
44
18 1
30
取静变形曲线为假设阵型，设 A =(40
141 279 436 600)T 有
A MA=649418mA T
KA -
1122000EI
A T M 饷A
l 3
28401503^m 2
75EI
所以R(A)
A T
KA = 8.64EI
A T
MA =汀
4
,R (A)二
A T MA A T
M MA
8.57EI
A
，此基频比用伯努利 -欧拉梁求得的一阶固有频
偏大，误差为
15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

3•里茨法
系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给岀，设阵型为==(1 2 3 4 5)T，匸2=(1 3 5 7 9)T；
则可求岀M *,K *分别为
* T 55m 95m M =屮丁"1 屮=|
95m 165m
78375EI K 」T
K 二
181I 3
57375EI 57375EI
181l 3
78375EI
L 181l 3
181I 3
* * * *2
将M , K 代入(K —w M
2 .
-w M
=0 ；可以求得:
==59.08 m ：
3
，
以及A ； 3.53
*
（i
）
-0.578
,A
*(2)
所以系统前两阶主阵型的近似为
一 1.0000」 [ 1.0000]
0.6303
1.5915 0.2607 ,A ⑵二屮
A *⑵=0.71
2.1831 -0.1090
2.7746
-0.4787 _
i
3.3662一
A (1
)“ A *⑴=0.422
-0.29
4•雅克比法
- l 3
m
l 3m
-.3
4l m
11l 3m
7l 3
m T
375EI 150EI 375EI 750EI 375EI
l 3
m 8l 3
m
14l 3
m
4l 3
m 26l 3
m
I50EI
375EI 375EI 75EI 375EI
n — —
4l 3m
14l 3m
9l 3m
27l 3
m 18l 3
m
375EI 375EI 125EI 250EI 125EI
11l 3
m 4l 3
m 27l 3
m 64l 3
m 88l 3
m
750EI 75EI 250EI 375EI 375EI
7l 3
m 26l 3
m 18l 3
m 88l 3
m l 3
m
375EI 375EI 125EI 375EI 3EI 一
动力矩阵为 由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率
- 0 0 0 1
18.70 0 ）启0
0 52.7 0 讣二0阵型为
Ym 3
0 100 0
0 一 158.11
2.93 0 I 0 I 0
I 0
-0.6481 0.5361 -0.5878
0.0459 0.1669
0.3387 0.5393 0.75「
13
0.2290 0.5589
0.5802 0.1677 -0.5201 -0.4879 -0.5446 0.2548 0.5306 0.1332 0.4650 -0.5539 0.5172 -0.3046
-0.3448
0919 0.0833。