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加强高中数学建模教学提高数学应用能力

《高中数学课程标准》强调发展和培养学生的数学应用意识，提出高中课程应提供基本内容的实际背景，反应数学的应用价值.高中数学新课程的内容增加“数学建模”板块，开展形式多样的“数学建模”的学习活动.在新授课教学中加强建模意识，设立体现数学某些重要应用的专题课程，在数学选修课中拓展数学的建模知识.高中课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，提高数学应用能力.

所谓数学模型，是指对于现实世界的某种事物系统的特征和数量关系，做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，通过对实际问题与数学模型化，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法.数学应用能力是将客观事物数学化的能力，是指从文字叙述的现实问题出发，经过数学思考，对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，提炼出相关的数量关系，将实际问题转化为数学问题，并通过构造数学模型，综合应用所学的中学数学知识、思想和方法加以解决的能力.

数学建模（Mathematical Modeling）：把生活中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用数学模型所提供的解答来解答生活中的实际问题，把学生知识的这一应用过程称为数学建模.以建立数学模型为手段，以数

学建模为载体，获得适应未来发展所需的基本思想方法和必要应用技能，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.

数学建模的一般思路和方法步骤：

高中数学教学目标明确要求学生逐步学会把实际问题归结

为数学模型，用数学建模解决实际问题，观察实际问题的结构建立相应的数学模型，再把数学模型纳入所学的数学知识系统处理.因此需要把数学建模意识贯穿教学的始终，这就必须加强数学建模教学，不断提高数学应用能力.

所谓教学建模，就是针对研究问题的特征结构或数量关系，采用形式化数学文字语言、符号语言、图形语言，概括地、近似地表达出的一种数学教学结构模式.在高中数学建模的教学实践中，我们可以尝试各种课型对数学建模进行探索研究.

一、基于问题情境的数学新授课的数学建模教学

在新授课中的公式、定理、概念、方程式等等都是一些具体的数学模型，结合新授课让学生掌握基本的数学模型和引入建模思想.教材的每一章课前问题背景引入都是很好的建模原型，新授课时可以简单介绍其学习背景，待章节完成后再予以解决.新授课学习新概念、介绍相关知识点的应用时进行数学建模教学可以设计实际问题情境引出相关的新知识，使学生在实际问题的载体中学习新知识.如必修1基本函数问题的模型，必修2立体几何（土木建筑、机械设计、航海测绘、容积、面积观测）的应用，必修3概率与统计的应用（生物模型、等待问题、天气预报），

必修4（三角函数模型、平面向量应用），必修5（解三角形应用、数列的应用、不等式的应用），新授课中的范例教学时把相关的数学问题放入相应的模型求解，完成问题数学化.新授课中变式引申也可以把纯数学问题设计为有实际背景的建模应用问题.挖掘课本中的数学问题的生活模型，深入分析，不断渗透数学建模的学习，使学生在学中用，用中学，使学生养成把数学作为工具应用的意识.

如《几何概型》新授课教学的重点是要引导学生动手操作，通过大量的几何概型的实例与数学模型，使学生概括、理解几何概型的两个特征及概率计算公式.使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题.

例1 甲乙两人相约在上午8:00至9:00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟，问两人能够见面的概率有多大？

模型分析因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成，在1小时内有无数个时刻，模型涉及几何图形的面积，符合几何概型的条件.

模型假设设甲x分钟后到达，乙y分钟后到达，则0≤x≤60，0≤y≤60.

模型建立点（x，y）形成直角坐标系中一个边长为1的正方形，以（0，0），（60，0），（0，60），（60，60）为顶点，由于

两人只能停留5分钟，所以在|x-y|≤5时，两人才能见面.从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果.由于|x-y|≤5是两条平行直线x-y=5与y-x=5之间的带状区域，分布在等待时间的直角坐标系中一个边长为60的正方形的内部.

模型求解由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，停留5分钟由图中阴影部分所表示，记两人能够见面的事件A.

两人见面的概率P（A）=带状区域面积正方形面积

=P(A)=602-52602=143144.

二、基于综合的专题应用建模

安排单元知识的应用专题渗透建模思想，提高创新意识，根据新课程标准要求和教材内容主要有：构建函数应用（用料、造价、利润、产量、测量、效率最高）的模型专题.构建不等式的应用（最优化策略）的模型专题、构建圆锥曲线的应用（油罐车、通风塔、抛物线拱桥、酒杯中数学）的模型专题、构建数列的应用（增长率、银行贷款、细胞分裂、人口增长、生物体内碳14的衰减）的模型专题、构建概率与统计的应用（有奖销售、水库的鱼量）的概率模型专题、构建立体几何（土木建筑、机械设计、航海测绘、容积、面积观测）应用的模型专题.通过专题应用建模复习，不断巩固知识，完善知识体系，以数学学科基本思想和方法贯穿各专题，按学生的学习过程中的思维发展为线索，综合知识系统和知识的交汇性，真正实现高效复习.如在函数专题复

习的教学中，可以设计下面的实际问题：

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售

利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随着利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1002x，其中哪哪个模型符合公司的要求？

模型分析某个奖励模型符合公司的要求，就是依据该模型

进行奖励时，奖金总数不超过5万元同时奖金不超过利润的25%.

模型假设由于公司的利润目标为1000万元，只需在x∈［10，10000］上，检验三个模型的奖金y是否符合公司的要求.

模型建立三个模型分别是一次函数、对数函数、指数函数，不妨在同一坐标系中先作出三个函数的图像，得到初步的结论，再提供具体的计算，确认结果.

模型求解略.

模型检验三个函数模型求解比对，确认模型y=log7x+1符

合公司的要求.

通过三个函数模型的分别求解，既解决了实际问题，又全面地复习了三个不同函数性质的应用，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同，体现数学的应用价值.利用函数模型解决实际

问题是数学应用的一个重要方面，应注意让学生认识常见函数的特点，注意选择贴近学生生活实际的问题，引导学生用已经学过