最新完美版 清华大学自主招生数学试题

2017-11

1 2014年清华大学自主招生数学试题

1.

a ，小数部分为

b ．

（1）求a ，b ；（2）求222

ab a b ++

；（3）求2lim()n n b b b →∞+++…． 2. （1）x ，y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，22211

2n n n x y -+≥

； （2）a ，b ，c 为正实数，求证：3a b c x y z

++≥，其中x ，y ，z 为a ，b ，c 的一种排列．

3. 请写出所有三个数（正数）均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论．

4. 已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）过椭圆左顶点(),0A a -的直线l 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于P ．求证：AQ

，AR 成等比数列．

5. 已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求()21n f s s s s =++++…．

6. 随机挑选一个三位数I ．

（1）求I 含有因子5的概率；

（2）求I 中恰有两个数码相等的概率．

7. 四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =．

（1）求证：每个面的三角形均为锐角三角形；

（2）设三个面与底面BCD 所成的角为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=．

8. 求证：当p 、q 均为奇数时，抛物线222y x px q =-+与x 轴交点横坐标为无理数．

9. 设1221,,,n a a a + 均为整数．性质P 为：对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分发将其分为两组，

每组n 个数，使得两组所有元素的和相等．求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具备性质P ．