等差、等比数列的综合问题

专 题2 数列

知识网络图解

一、数列的概念、性质

例①若数到{αn }满足α

n+1=

若α1=67

则α2009的值为（ ）

A.67

B.57

C.37

D.1

7

②αn {αn }最大项为（ ）

A. α1

B. α45

C. α44

D. α2007

③通项为αn =n 2

－α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值围为_________

二、等差数列、等比数列

2αn ，

0≤αn ＜1

2

1

2≤αn ＜1 2αn －1，

要点 热点 探究

例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且

n n A B =7453

n n ++，则使得

n

n

a b 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

（2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6OA ＋αOC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ）

A.100

B.101

C.200

D.201 （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________

（4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39

()121

2112121*(21)

7(21)45122172131

(21)21,2,3,5,11

n n n n n n n n

a a n a A n

b b b B n n n a

z n N n b ----+•--+ ====+

+-++•- ∈ ∈ ∴=解 ()619512006195200

21

1

200200200100

222

A C a a a a a a s

,B,∴+=++=•=•=•=三点共线

()65466511113180

366()180362163618324182

n n n n n

n n n

n s s a a a s a a a a a a a a a s n n n --- -=++⋯+= =++⋯+= ∴+=+= +=+∴ =

•== ∴= ()1

2111121121

21113191

4102902

213192902922

S a a n n a S n a a a a S a ++

=

= ∴= ∴=++=

•=+ ∴==奇偶

中间项为又

例2等差数列{αn }的前n 项和为S n ，α1=1

S 3

=9+（1）求数列{αn }的通项αn ，与前n 项和S n ；

（2）设b n =

n

s n

(*)n N ∈，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列 【解析】（1）由已知得

故αn =2n －1，S n =n （n ）

（2）证明：由（1）得b n =

n

s n

= n 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ,q ,r 互不相等)成等比数列，则2

q b =b p b r , 即 (q )2

=（p ）（），∴（q 2

－pr ）＋（2 q －p －r =0

∵p ，q ，r ∈N ·

,∴ ∴2()2

p r += pr ，即（p －r ）2=0，∴p =r ，这与p ≠r 矛盾 ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列 变式 已知数列{αn }中，α1=

1

2

，点（n ，2αn+1－αn ）在直线y=x 上，其中n =1，2，3… （1）令b n =αn+1－αn －1，求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{αn }的通项；

（3）设S n ，T n 分别为数列{αn }，{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{n n

S T n

λ+}为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。 解（1）αn+2－αn+1－1=1

2

(αn+1－αn －1) （2）α1=

12，2α2－α1=1 α2=12（1＋α1）=3

4

α2－α1－1=3131424--=- b n =αn+1－αn -1=34-·（12

）n+1

αn ＋1-αn =1－

3(12

)n+1 T n =133

22

n +-+ S n =

233322n n n -+- α1＋1

3α1+3d =9+∴d =2 q 2

－pr =0 2 q －p －r =0

21333332222

n n n s Tn n n n λλ

λ++-=+--+ ∴存在2λ=使

32n s Tn n n λ+-=

{3

2

n -}等差 例3 已知数列{αn }为等差数列，公差d ≠0，由{αn }中的部分项组成的数列1

2b b a a ，

，…，

n b a ，…为等比数列，其中b 1=1，b 2=5，b 3=17

（1）求数列{b n }的通项公式；

（2）记T n =123123n

n n n n n C b C b C b b +++…+C ，求T n

解（1）∵25117a

a a =⨯ ∴2111(4)(16)a d a a d +=+

∴12a d = ∴251111

43b b a a a d

q a a a +=

=== 又1

113(1)n bn n a a a b d ===+-

∴1

1

113

(1)

2

n n a a a b -=+- ∴b n =2.3n-1

－1

（2）11212(33+n n n T C C =+…+1

3)n n n C -－（1)n n n C +…+C

=1+

23

（12233n n C C +-+…03)(n n n n C C +-+…)n n C =022

12(333

n n C C +++…+3)2n n n n C - =12(13)233

n n

++- =2112233n n ++

- 变式 （理）设数列{αn }的首项α1=α≠1

4，且αn+1= 记b n =α2n －1-

1

4

n =1，2，3，…

（1）求α2，α3;

（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求lim n →∞

（b 1＋b 2＋…+ b n ）

(文)数列{αn }的前n 项和为S n ，且α1=1, αn+1=

1

3

n s ，n =1，2，3，…求： （1）α2，α3，α4的值及数列{αn }的通项公式； （2）α2+α4+α6＋…+α2n 的值

1

2αn ， n 为偶数 αn ＋14，n 为奇数