函数的单调性及极值

第2节 函数的单调性及极值
一、函数单调性的判定
二、函数的极值及其求法
三、函数的最值及其求法
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一、函数单调性的判定
单调性是函数的重要性态之一，在第1 章中我们已经给出了函数单调性的定义，可 以看出，用定义判定函数的单调性是比较困 难的，这里我们将利用导数来判定函数的单 调性．
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分界点．另外，导数不存在的点也可能是单调区 间的分界点． 例如，函数y=︱x︱在点x=0处连续，但它在
x=0处不可导．在区间(-∞, 0)内，y′<0，函数单
调减少；而区间(0，+∞)内y′>0，函数单调增加， 所以点 x=0是函数单调区间的分界点．
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例2 证明当 1时, e x ex. x 证明 设 f ( x ) e ex,
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x f (x) f (x)
(-, 1) -
-1 0 无极值
1, 0
-
0
0
极小值 2
0,1
+
1 0;
所以，函数在点 x=0 取得极小值 f(0)=-2 ，
函数没有极大值．
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定理 4( 极值的第二充分条件 )
设函数 f (x) 在点 x0 的二阶导数存在，若 若 f (x0) = 0，且 f (x0) 0，则函数f (x)在点x0
3 2 1 3
（3）列表讨论如下：
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x f (x) f (x)
(-, 0)
+
0
不存在 极大值0
2 0, 5
2 5
2 , 5
-
0
33 4 极 小 值 5 25
+
2 所 以, 函 数 在 0取 得 极 大 值f (0) 0, 在 点x x 5 2 33 4 取 得 极 小 值( ) f . 5 5 25
导函数的单调性．如果函数的导数仅在个别点
处为零，而在其余点处均满足定理1的条件，
那么定理1的结论仍然成立．
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确定函数 f(x) 单调性的一般步骤： （1）确定函数 f(x) 的定义域；
（2）求出一阶导数 f (x)，确定使f (x)=0
及f (x)不存在的点；
（3）用（2）所得的点将定义域划分为若
[a, b]上单调减少.
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几何意义：若曲线y=f(x)在某区间内的切线与x 轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升； 若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降． 说明： （1）闭区间 [a, b]若为开区间、半开区间或无 穷区间，结论同样成立． （2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可
f(-2)=3 , f(6)=59, 比较这些值的大小，可知，
在[-2,6]上，函数f(x)的最大值为f(6)=59, 最小
由定理条件知f (x0)存在，故有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
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0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x 0 x 综上所述 必有f ( x0 ) 0 . ,
(2)求出一阶导数f (x)，确定f(x)的所有驻点.
(3)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确 定极值点. (4)求出极值点处的函数值，取得函数 f(x) 的 全部极值.
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例5
求函数 f (x) = x4 –10x2 + 5 的极值.
解 (1) f (x)的定义域为 (- , + ). (2) f (x) = 4x3 – 20x = 4x(x2 - 5)， 令 f (x) = 0 ,得驻点 x1 5 , x2 0, x3 5 .
(3)列表讨论如下(表中记号↗表示单调增加， 记号↘表示单调减少）：
x f (x) f (x)
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( , - 1)

(- 1,4)
(4, )


所以(-∞, -1)和(4, +∞)是 f(x) 的递增区间, (-1,
4)是 f(x) 的递减区间. 此例说明，导数为零的点可能是单调区间的
x
当x 1时, 有 f ( x) e x e 0,
所以 f ( x )在(1,)内单调增加 .
又 f ( x )在[1,)内连续 从而有: ,
当x 1时, f ( x ) f (1) 0 .
x
因此 当x 1时, e ex. ,
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二、函数的极值及其求法
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定理1(函数单调性的充分条件)
设函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续，在开
区间 (a, b) 内可导.
(1)若在(a, b)内 f (x) > 0， 则函数 y=f (x) 在 [a, b]上单调增加. (2)若在(a, b)内 f (x) < 0， 则函数 y=f (x) 在 [a, b]上单调减少.
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例3
求函数 f (x) = (x -1) 3 x 2 的极值.
解 (1) f (x)的定义域为(-∞, +∞).
5x 2 x 1 3 3 x 2 令f ( x ) 0, 得 驻 点 1 , 不 可 导 点 2 0. x x 5 2 (2) f ( x) x x 3
f ( x0 )是极小值的情形可类似 . 证明 几何意义：可导函数的图形在极值点处的
切线与 x 轴平行. 驻点：使得导数 f (x0) = 0 的点 x0 . 定理2说明，可导函数的极值点必是驻点.
反之，函数的驻点不一定是极值点．
另外，一阶不可导点也可能是极值点.
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例如，x=0 是函数 f(x)=x3的驻点而不 是它的极值点；函数 f(x)=︱x︱在 x=0 处 不可导，但 f(0)=0是它的极小值. 驻点和一阶不可导点统称为函数的极 值嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点， 如果是极值点，它是极大值点还是极小值 点，如何判断？为了解决这些问题有下面 的定理：
极值是函数的一种局部性态，能为我们准 确描绘函数图形提供更详细的信息，同时在
求函数的最大值和最小值问题时发挥重要作
用．下面介绍函数极值的定义，讨论函数极
值的求法．
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定义 设函数 y = f(x) 在点 x0及其左右近旁有定义，
若对于x0的左右近旁异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) > f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值， x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) < f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值， x0 称为 f (x) 的极小值点； 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大值点、极小值点统称为极值点.
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定理 3 (极值的第一充分条件)
设函数 f (x) 在点x0 的左右近旁可导(在点x0 处
可以不可导，但必须连续)， 若当 x 在x0 的左右近旁 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， f (x0) 改变符号， 则函数 f (x) 在点x0取得极值，且 则 (1)若导数 f (x) 由正变负， f (x0)为函数 f(x) 的 极大值，x0为极大值点.. (2)若导数 f (x) 由负变正，则f (x0) 为函数 f (x) 的 极小值，x0为极小值点. (3)若f (x)不变号，则f (x0)不是函数 f (x)的极值， x0不是极值点.
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例4 求函数 f (x) = (x 2- 1)3 - 1的极值. 解 (1)f(x)的定义域为 (- ,+ ). (2) f (x) =3 (x 2- 1)2 2x=6x(x +1)2 (x - 1)2, 令 f (x) = 0 , 得驻点 x1=-1 , x2=0 , x3=1. （3）列表讨论如下：
又因为 只可能在极值点和区间的端点处达到．
极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求
出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然
后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是 最小值．
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例6 求函数 f (x) = x3-3x2 -9x+ 5在 [-2,6]上的最 大值和最小值.
解 f (x) = 3x2 - 6x – 9 =3(x+1)(x-3), 令 f (x) = 0，得驻点 x1= -1, x2= 3. 计算f(x)在 所有驻点及端点处的函数值：f(-1)=10 , f(3)=-22 ,
小值还小．
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定理2 (极值的必要条件) 且 设函数 f (x) 在 x0 处可导， f (x0) 为极值， 则必有 f (x0) = 0.
证明(1)设 f (x0) 是极大值，则必有
f x0 x f x0
即f (x0 x ) - f (x0) < 0，x 0 .
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，即f ( x2 ) f ( x1 ) , 因此f ( x )在
[a, b]上单调增加. (2)若f (x) < 0，x∈(a , b), 则 f () < 0, 于是可得
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，即f ( x2 ) f ( x1 ), 因此f ( x )在
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y
如图所示， x1 ，x4
为 f (x) 的极大值点，
y = f (x)
x2，x5 为 f (x)
的极小值点.
x1 O x2 x3 x4 x5 x
函数的极值概念是局部性的.说 f(x0)是极大值或 极小值，只是与 x0 附近点x的函数值 f(x)相比较． 因此，就整个定义区间而言，一个函数可能有若 干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极
干子区间，列表确定f (x) 在各个子区间内 的符号，进而判定函数 f(x) 的单调区间．
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1 3 3 2 例1 求函数f x x x 4 x 1 3 2 的单调区间．
解 (1)该函数的定义区间为( , ) (2) f (x) = x2 - 3 x-4= (x + 1)(x - 4)， 令f (x) = 0，得 x1 = - 1，x 2= 4
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运用定理 3 求函数f(x)的极值点和极值的 一般步骤是：
(1)确定函数的定义域.
(2)求出一阶导数f (x)，确定f(x)的极值嫌疑点. (3)用极值嫌疑点划分定义域，列表讨论f (x)的 符号变化，确定极值点. (4)求出各极值点处的函数值，得到函数f(x)的 全部极值.
三、函数的最大值和最小值
在实际问题中常会遇到求函数的最 大值与最小值问题．下面我们在函数极 值的基础上讨论如何求函数的最大值与 最小值．
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1.函数在闭区间上的最大值和最小值
分析：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，
那么它在 [a, b] 上一定有最大值和最小值．显
然，在所设条件下，f(x)在闭区间[a, b]的最值
取得极值，且
(1)若 f (x0) < 0 ,则 f(x0) 为函数f (x)的极大 值， x0为极大值点； (2)若 f (x0) > 0，则 f(x0) 为函数f (x)的极 小值， x0为极小值点.(证明从略)
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运用定理4求函数f(x)的极值点和极值的
一般步骤是：
(1)确定定义域.
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证明
在[a, b]上任取两点x1,x2 ，不妨设 x1< x2 ，
则由拉格朗日中值定理知
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) , x1 x2
(1)若f (x) > 0，x∈(a , b), 则 f () > 0, 于是可得
(3)因为 f (x) = 12x2 – 20，于是有
f ( 5 ) 40 0, f (0) 20 0, f ( 5 ) 40 0.
所以函数 f(x) 在点 x=0 取得极大值 f(0) =5,
在点x 5取得极小值( 5 ) 20. f
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