小波分析第三讲_小波与多分辨分析

j (t ) y (t k )dt 0
则小波函数系数h1[n]与尺度函数系数h0[n] 满足
h1[n] (1) n h0 [1 n]
当h0[n]为有限长序列，且长度N为偶数时，则有
h1[n] (1) h0 [ N 1 n]
n
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
x (t )
k
j
d j ,ky j ,k (t )
小波与多分辨分析

这表明信号x(t)也可以完全由小波信号表达。
小波变换与多分辨分析
多分辨分析(MRA)
1
1
0
0
-1
-1
100
200
300
400
100
Doppler信号
1 1
c0 [k ] j 0,k (t )
200 300
y (t ) h1[n] 2 j (2t n)
n
小波与多分辨分析
nZ
h1[n]称为小波函数系数(wavelet function coefficient)。
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t) 若尺度函数j(t)与小波函数y(t)满足正交性，即
L2 V3 V2 V1 V0


小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
通过尺度函数j (t)的尺度展缩，就可以改变 尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨 率及信号空间之间的关系。
若信号x(t)可以由尺度函数jj,k(t)表达，则信 号x(2t)可以由尺度函数jj+1,k(t)表达，即
k
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 若由尺度函数j (t)经过展缩和平移而得到的 不同尺度 j 下的尺度函数jj,k(t)定义为
j j ,k (t ) 2 j 2 j (2 j t k )
j, k Z
则同理可以得到由信号jj,k(t)张成的信号空间Vj
V j Span{j j ,k (t )} Span{j k (2 j t )}
k k
小波与多分辨分析
j, k Z
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号
jj (t) j (2t)) j (t/2) (t) j (2t
x(t ) c j0 ,kj j0 ,k (t ) d j ,ky j ,k (t )
k k j j0
c j0 ,kj j0 ,k (t )
k

对应信号x(t)中的粗略(coarse)信息 由低分辨率的尺度信号jj0,k(t)表达 对应信号x(t)中的精细(fine)信息 由高分辨率的小波信号yj,k(t)(jj0)表达
尺度 j= 尺度 j= 00
11
尺度 j=1 尺度 j=1 尺度 j=1
1 2 t 00 1 2 尺度越大，对应的信号的分辨率越高。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 由于信号jj,k(t)比jj1,k(t)在时域上更窄，因此
jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号jj,k(t)张成的信 号空间Vj 比信号jj1,k(t)张成的信号空间Vj1 大。
x (t ) V j
小波与多分辨分析
x(2t ) V j 1
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 根据信号空间的包含关系， 若存在 则必然
x(t ) V j x(t ) V j 1
这表明若信号x(t)可由尺度函数jj,k(t)线性表达， 则必然可以由尺度函数jj+1,k(t)线性表达。 低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
j (t ) V0
j (t ) V1
j (t ) h0 [n] 2 j (2t n)
n
该式称为尺度函数j(t)的多分辨分析(MRA)方程，
该递归方程是尺度函数理论的基础。 h0[n]是尺度函数系数(scaling function coefficient)，
尺度函数系数h0[n]与小波函数系数 h1[n]的特性 尺度函数j(t)与小波函数y(t)的设计方法
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
为了从数学概念和工程概念上更好地理解小 波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。 信号空间(signal space) 尺度函数(scaling function)——j (t) 小波函数(wavelet function)——y (t) 多分辨分析(Multiresolution Analysis, MRA)
初始尺度 j
L2 W2 W1 W0 W1 W2
信号x(t)也可完全由小波信号表达
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t) y (t ) W0 y (t ) V1 W0 V1 由于小波函数y(t)隶属于由尺度信号j(2tk) 张成的信号空间V1，表明y(t)可以由j(2tk)线性 表达，这就是小波函数y(t)的MRA方程：
Wj
W j Span{ j ,k (t )} y
Vj
k
V j Span{j j ,k (t )}
k
Wj V j {0} W j V j V j 1
正交和
V j 1 V j Wj
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t) 尺度信号jj,k(t) 粗略信息(coarse information)
1 t
0 1
1/2
y H (t ) j H (2t ) j H (2t 1) 1 1 h1 [ n] { , ; n 0, 1} 2 2
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小波变换与多分辨分析
多分辨分析(MRA)
x(t ) L2
L2 V j0 W j0 W j0 1 W j0 2 W j0 3
小波与多分辨分析
d j ,ky j ,k (t )
k j j0
小波变换与多分辨分析
多分辨分析(MRA) 展开系数cj [k]反映了信号x(t)中的低频分量的分 布情况，而一系列展开系数dj [k]反映了信号x(t)中的 高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离 散小波变换DWT。
L2 W2 W1 W0 W1 W2
也称为尺度滤波器(scaling filter)单位脉冲响应。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scቤተ መጻሕፍቲ ባይዱling function)——j (t)
j H (t )
Haar尺度函数
1
j H (t ) j H (2t ) j H (2t 1) 1 1 h0 [n ] { , } 2 2
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
信号空间(signal space) 由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定 集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的 所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间。 L (R)信号空间包含所有定义在实数域R上的 信号，且每个信号都满足： 2
tR
2

x(t ) dt
初始尺度j=3 初始尺度j=3 初始尺度j=j0
L2 V3 W3 W4 W5 W6
L2 V3 W3 W2 W1 W0 W1
L2 V j0 W j0 W j0 1 W j0 2 W j0 3
信号x(t)可由小波信号和尺度信号共同表达
j (t )
y j ,k ( t ) 2
y (t )
j/2
y j,k (t )
j
y (2 t k )
j, k Z
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)—y (t) 小波信号yj,k(t)设计为尺度信号jj,k(t)的正交 信号，即存在
j j ,k (t ),y j ,l (t ) j j ,k (t ) y j ,l (t )dt 0 j, k , l Z
t
0
1/2
1
j T (t )
三角尺度函数
1
jT (t ) jT (2t ) jT (2t 1) jT (2t 2)
1 2
1 2
1 1 h0 [n ] { , , } 2 2 2 2 2
0 1 2 t 小波与多分辨分析
1
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t) 根据信号空间的概念，由尺度函数j(t)同样可 以定义小波函数y(t)，再由小波函数y(t)经过尺度 展缩与平移得到小波信号yj,k(t)，即
同理可得：
V j 1 V j
V {0}
jZ
V V2 V1 V0 V1 V2 V
V L
2
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由 低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：
V0称为由信号jk (t)张成的闭信号空间 ，且V0 L2
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 若信号x(t)可以由信号jk (t)线性表达， 则表明存在着
x (t ) a k j k (t )
k
同时也意味着
x(t ) V0 Span{j k (t )}
小波函数(wavelet function)—y (t)
j H (t )
1
尺度函数j(t)与小波函数y(t)的对应关系
j H (t ) j H (2t ) j H (2t 1) 1 1 h0 [n] { , ; n 0, 1} 2 2
1/2 1 t
0
y H (t )
1
h1[n] (1) n h0 [ N 1 n]
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
信号时频分析
问题的提出
短时傅里叶变换
小波展开与小波变换
小波变换与多分辨分析 小波变换与滤波器组 基于小波的信号处理及应用
小波变换与多分辨分析
信号空间(signal space) 尺度函数(scaling function)——j (t) 小波函数(wavelet function)——y (t) 多分辨分析(MRA)
V3 V2 V1 V0
V0 W0 W2 W3
W2
W1
W 0
V0
…
2
V1 V0 W0
V2 V1 W1 V0 W0 W1
L V0 W0 W1 W2 W3
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t)
信号x(t)
小波信号yj,k(t) 精细信息(fine information) 将信号x(t)展开为尺度信号 jj,k(t)和小波信号
yj,k(t)，可以更有效地表达信号x(t)中的不同分量，
有利于信号的分析与处理。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t)
信号空间L (R)称之为平方可积空间 。
小波与多分辨分析
2
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t) 由尺度函数j (t)经过平移k而得到的函数定义为
j k (t ) j (t k )
V0 Span{j k (t )}
k
kZ
j L2
定义所有可由信号jk (t)线性表达的信号空间V0为
400
k
0
0
-1
100
d 0 [ k ] y 0,k ( t )
200
300
400
-1
100
d1 [k ] y 1,k (t )
200 300
400
1
k
k
1
0
0
-1
100
d 2 [k ] y 2,k (t )
k
200
300
400
-1
100
小波与多分辨分析
d 3 [k ] y 3,k (t )