因式分解——十字相乘法、双十字相乘法

一、概念：

a ．十字相乘法

十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)分解因式。这种方法的关键是把二次项的系

数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1c 2，并使a 1c 1

＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可直接写成结果： ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2),在运用

这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

b ．双十字相乘法

形如22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 的二元二次多项式的因式分解

双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。

其理论依据：若22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 可分解为()()＋＋＋＋ax by c dx ey f ，则当c ＝f ＝0时，22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F

二、具体练习

例1：24146－＋x x

例2：22276＋－－＋－x xy y x y

例3：2231092－－

＋＋－x xy y x y

因式分解-十字相乘法、

双十字相乘法

拓展1

满足0－＋＝x y z ，210－－＋＝x y z 的任何x ，y ，z 的值也同时满足221＋＋＝

ax by cz ，求常数a ，b ，c 的值。

复习：求解ax ＝b ，当a ＝0且b ＝0时，x 为任意值

拓展2

已知0127，，，…a a a a 使7767610(31)－

＝＋＋…＋x a x a x a x a 成立求1357＋＋＋a a a a 的值

拓展3

请多项式32321111()()＋＋＋＋＋＋ax bx cx d a x b x c x d 中x 3系数x 3

来源如下： 前一个因式 后一个因式 ax 2

d 1 bx 2

c 1x cx

b 1x 2 d

a 1x 3

故x 的系数为

三、作业 1．22267372－－－＋－x xy y xz yz z

2．222311642－

＋－－－x xy y xz yz z

3．222064－＋x xy y