高三数学课件 圆锥曲线

物线弧段；
（2）当a≠1时，轨迹方程化为
(x a )2 1a
y2
1(0 x a)
( a )2
a2
1a
1 a2
所以，当0＜a＜1时，方程③ 表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程③表示双曲 线一支的弧段．
又
M(
p 2
,0),
N
(
p 2
,0),
A(
x
A
,
2 pxA )
∵ AM 17, AN 3
∴
(xA
p )2 2
2 pxA
17,
①
p
x A 2 3,
②
解得：
p 4, x A 1,
或
p xA
2, 2.
因为△AMN为锐角三角形，所以
p 2
xA
，故p＝4，xA＝1．
由B点在曲线C上，
p xB BN 2 4
解：因为很难判断焦点在哪个坐标 轴上，所以用一般式较好．可设所求椭 圆方程为：
Ax2＋Cy2=F(A，C，F同号)
将M1，M2分别代入上式
16A 3C F , 8A 9C F ,
A
C
F 20 F 15
所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 20 15
例5
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1
AM 17, AN 3 ，且| BN |=
6，建立适当的坐标系，求曲线C
的方程．
分析 由已知，根据抛物线的定 义，可知曲线C是以N为焦点，直线l2 为准线的抛物线的一段，于是有
解: 以MN的中点O为原点，l1为 x轴如图建立直角坐标系xoy．
由已知可设曲线C的方程为： y2＝2px (p＞0，xA≤x≤xB，y＞0)
y
1 4a
t
sin
，也可以求
1 1 4a
mn
．特别是用极坐标更
简
捷，但这里更重要是考查学生的直觉 思维能力．
（2）本题解法的逻辑依据是： 一般成立，特殊一定成立 特殊 不成立，一般一定不成立．
例8 如图，直线l1⊥l2于M点， 点Nl1，以A、B为端点的曲线C上 任意一点到l2的距离与到点N的距离 相等．若△AMN 为锐角三角形，
圆锥曲线
董世奎
圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物 线是平面解析几何的重点内容，本讲主 要围绕下面三个问题加以讲解：
（1）理解并掌握椭圆、双曲线、抛 物线的定义、方程及性质；
（2）掌握确定曲线方程的基本方法； （3）初步了解曲线方程的应用．
例1 双曲线4x2-9y2-32x36y+64=0的标准方程是___________， 中心坐标O′( _______ )，实轴长 ___________，虚轴长_________， 焦距_______，顶点坐标________， 焦点坐标______，准线方程 _____________，渐近线方程______， 准线间距离_________，焦准距 ____________．
∴△x=(24)2－4×9×16＝0 ∴2x＋y＋3＝0与③有公共点，所 以应选D．
评析与引申 本题既考查了直线与直线、直线
与曲线的位置关系，更重要是考查了 考生的分析问题的能力．当排除(A)、 (C)后，根据(B)(D)的特点，找到问题 的切入点是判断2x＋y＋3＝0与③的 位置关系．
例7 过抛物线 y＝ax2 的焦点F
4
16
a2(c2 a2 ) 3 c4 16
3e4 16e2 16 0 e2 4
或 e2 4 3
又 a＜b a2＜c2－a2e2＞2
所以e＝2，应选（A）．
例6 已知两点M(1, 5 ), N (4, 5 )
给出下列曲线方程． 4
4
①4x＋2y－1= 0；②x2＋y2=3；
③ x 2 y2 1 ；④x2 y2 1 ．在
顶点为准； （2）求双曲线的渐近线方程，只需
将方程中的常数项改为零分解因式即 可．
例2 已知抛物线的顶点为坐
标原点，焦点在y 轴上，抛物线上
的点M（m, －2）到焦点的距离为
4，则m等于
（）
（A）4
（B）－2
（C）4或－4 （D）2或－2
分析 由已知可知抛物线如图
所示，设所求抛物线方程为 x2 =－
．
综上：曲线C的方程为
y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
评析与引申 确定曲线方程基本方法之一
就是布列关于未知量的方程（组）， 解之即可．
例9 正方形ABCD在直角坐 标平面内，已知其中一条边AB在 直线y＝x＋4上，C、D两点在抛 物线x＝y2上，求正方形面积．
分析 由图，不难发现，求ABCD 的面积求弦CD的长．若设CD方程 为y＝x＋b，则|CD|＝f(b)．又AB与 CD距离为g(b)．由f(b)＝g(b)可求出b， 即可求出|CD|＝f(b)．
解： ( y 2)2 ( x 4)2 1 ，
O′
(4，4－2),
9
2a=4,
2c 2
13
,
2b=6,
(4,2 13)
顶点 y(4, －2 4)4, (413, 0), 焦
点
13，
8 13
准线 2=0
p 9 13 13
, 渐近线2x＋3y1－3
评析与引申
（1）求有心二次曲线与坐标系有关 的性质的方法是：一求中心，二求出基 本量a，b，c，a 2 ，再以中心为准左右 或上下移动即可c求出，对于抛物线则以
作直线 L 与抛物线交于A、B 两点，
记 | AF | =m，| BF |= n，则1 1 mn
等于
（）
（A）4a
（B）－4a
（C） 4 a
（D） 4 a
分析 在题设中只给出了AB过焦点
F (0, 1 ) ，并没有限定倾角，这就间
4a
接告诉我们
1 1
与AB的倾角 无关，
mn
这就是变量数学中的不变性．可设＝0，
（0 < a < b）的半焦距为c，直线L过点
（a，0）和（0，b），已知原点到直线
L 的距离为 3 c ，则双曲线的离心率 为（ ） 4
（A）2 （C） 2
（B）3
（D）2 3
3
解： 如图，在Rt△AOB中，|OA|=a， |OB|=b， |AB| =c，由面积公式得：
ab 3 c2 a2b2 3 c4
由抛物线的定义 m 1 , n 1 ．
2a
2a
∴
1
1
4a
，应选（A）．
mn
评析与引申
（1）注意到 1 1 m n
m n mn
中m+n=|AB|表示弦AB的长，
，其
m·n=|AF|·|BF| 表示线段积，显然用
极
1
2a
1 cos
坐标
和直线AB 的参数
x t cos
程 出
分析 这是两条动直线OC与AB的 交点轨迹问题，其思路是引入变量， 分别写出两条直线方程，消参数即 可．
B
α
解：当B点不在x轴上时，
设∠AOC＝，则∠AOB＝2，
则OC方程为y ＝x tan
①
OB方程为y＝x tan2
∴B（－1，－tan2）
AB方程为： y tan 2 ( x a) ②
a1
圆方程是什么？
分析 由已知得F1(－4, 0), F2(4, 0) . 由图，原命题在L上求一 点M，使|F1M|＋|F2M| 最小．
解：由已知F1(－4,0)，F2(4,0)，设
F2关于L的对称点为F2( x, y) ，则
x
y
4
1
x4 2
y 2
8
0
x
x
y4 0 y 12 0
F2(8,4)
由① x≠0 ∴ tan y 代入②得
x (a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0
(0＜x＜a)
③
当B点在x轴上时，C（0,0）显然在③
上．综上C点的轨迹方程为
(a－1)x2－(a＋1)y2＋2ax＝0 (0≤x＜a)
讨论：
（1）当a＝1时，轨迹方程化为
y2＝x(0≤x＜1)，此时，方程③表示抛
2
2
曲线上存在点P，满足|MP|=|NP| 的所
有曲线方程是
（）
（A）①③
（B）②④
（C）①②③ （D）②③④
解：首先求出MN的垂直平分线方程 是：2x＋y＋3＝0，显然与①平行， 从而排除了选项(A)和(C)，由余下的 (B)，(D)可知只需判断2x＋y＋3＝0 与③的关系，前者代入后者得：
x2 (2x 3)2 1 9x2 24x 16 0 2
2py (p>0) ．由已知和抛物线定义
可得p 2 4 p 4
．所求抛
物线2方程为：x2=－8y，将(m, －2)
代 入 上 式 m2=16m=±4 ， 应 选
(C)．
例3 在直线L：x＋y－8＝0上
任
x2 y2 1
12 4
取一点M，以双曲线
的焦
点为焦点，过M作椭圆，问当M点在
何处时所作椭圆的长轴最短，此时椭
解：设CD方程为y＝x＋b，代入y2＝
x
x1 xx22＋(2b1－ 41b)x＋b2＝0
∴
.
CD 2(1 4b)
∴
4b
BC
又
2
由 CD BC
b4 2(1 4b)
2
∴b2＋8b＋12＝0b＝－2或b＝－6
∴边长 CD 18 或 CD 50 .
所以正方形面积为18或50 ．
例10 已知定点A（a，0）（a＞0） 和定直线l ：x＝－1，B是直线l 上的 动点，∠BOA 的平分线交AB于C 点， 求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示 的曲线类型与a 的关系．
F1F2 的方程为x－3y＋4＝0 ．
由
x x
3 y 4 0, y 8 0,
交点M(5，3)
．
即当M点坐标为(5，3)时，以F1，
F2为焦点源自文库椭圆长轴长 2a 122 42
4 10 b2 24 ， 此时椭圆方程 为 x2 y2 1 ．
40 24
例4 求中心在原点，对称轴在坐标 轴上，且过 M1(4, 3), M2(2 2,3) 的 椭圆方程．