高一数学向量共线的条件与轴上向量坐标运算PPT教学课件
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• [点评] 在解题过程中，利用了实数与向量的 积以及它们满足的交换律，结合律，再根据 两向量共线的充要条件，从而得证．
• (1)已知e1、e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2， b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
• (2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b ＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
[解析] (1)若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，
使 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)． ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
∵e1、e2 不共线，∴43＋－86λλ＝＝00 ，∴λ 不存在，
∴a 与 b 不共线．
•轴上向量的坐标运算
已知轴 l 上的基向量 e，A、B、C、D 在 l 上， 且A→B＝3e，A→C＝－2e，A→D＝4e，将C→B、C→D、B→D用基向量 e 表示出来．
• [答案] －6
[解析] ∵A、B、C 三点共线，∴存在实数 λ，使 A→B ＝λB→C ，
∴2e1＋ke2＝λ(e1－3e2)， ∴k2＝＝－λ 3λ ，解得 k＝－6.
课堂典例讲练
•证明三点共线
已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1 ＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共 线．
•共线向量定理使
ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k值．
[解析] 若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定存在 λ，使
ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，
只能有kλk－－λ＝ 1＝00 ，则 k＝±1.
(5)数轴上两点间的距离公式：|AB|＝__|x_2_－__x1_|_.
1．数轴上三点 A、B、C 的坐标分别为－1、2、5，则( )
A．AB＝－3
B．BC＝3
C．A→C＝6
D．A→B＝3
• [答案] B
• [解析] 由轴上向量坐标的定义
• AB＝xB－xA＝3，BC＝xC－xB＝3. • ∴选B．
(3)轴上两向量的和：设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)e_. 向量A→B的坐标常用 AB 来表示，即A→B＝ABe.
(4)轴上向量的坐标：在数轴 x 上，已知 A 点的坐标为 x1， B 点的坐标为 x2，则 AB＝_x_2－__x_1___.轴上向量的坐标等于向量 终点的坐标减去起点的坐标．
• [答案] C
[解析] 对于选项 A，b＝－2a；对于选项 B，a＝4b；对于 选项 D，a＝－32b.所以选项 A、B、D 中 a 与 b 一定共线．故选 C．
4．设 e1、e2 是两个不共线的向量，已知 A→B ＝2e1＋ke2，B→C
＝e1－3e2，若 A、B、C 三点共线，则实数 k 的值为________．
1．向量共线 如果向量的_基__线__互__相__平__行__或__重__合__，则称这些向量共线或平 行． 2．共线向量基本定理 如果__a_＝__λ_b__，则 a∥b；反之，如果__a_∥__b_(b_≠_0_)___，则一 定存在一个实数 λ，使得 a＝λb. 3．单位向量 给定一个非零向量 a，与 a_同__方__向__且__长__度__为__1____的向量， 叫做向量 a 的单位向量，记作 a0，且 a0＝|aa|.
[解析] C→B＝A→B－A→C＝3e－(－2e)＝5e， C→D＝A→D－A→C＝4e－(－2e)＝6e， B→D＝A→D－A→B＝e.
• 已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－ 3、－1、4求AB、BD、DA的坐标和长度．
[解析] AB＝－3－2＝－5，BD＝4－(－3)＝7，
DA＝2－4＝－2，|A→B |＝5，|B→D|＝7，|D→A|＝2.
4．轴上向量的坐标及其运算 (1)轴：规定了__方__向__和__长__度__单__位__的直线叫做轴．轴与我 们学过的数轴不同，在轴上确定了原点，则该轴就成了数轴． (2)轴上的坐标：已知轴 l，取单位向量 e，使 e 与 l 的方向 相同，对于轴上任意向量 a，一定存在惟一实数，x 使 a＝__x_e___； 反过来，任意给定一个实数 x，总能作出一个向量 a＝xe，即实 数与这条轴上的向量建立了_一__一__对__应___关系，x 叫做 a 在轴 l 上的_坐__标__(_或__数__量__)．x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e 的方向 相同时，___x_>_0_____；当 a 与 e 的方向相反时__x_<_0______． 轴上向量坐标化，奠定了向量数量化的基础，轴上向量的 运算可以转化为实数的运算．
[解析] 欲证 A、B、D 三点共线，只须证A→D与A→B共线即 可．
∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B，
∴向量A→D与向量A→B共线． 又∵A→B和A→D有共同的起点 A， ∴A、B、D 三点共线．
第二章
2.1 向量的线性运算
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
第二章
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
• 首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是 世界上现存最长的城市中轴线，在北京700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的 作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不 是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午 线重合．你知道科学家们是如何判断的吗？
2．(2015·河南南阳高一期末测试)A、B、D 三点共线，对任
一点 C，C→D＝43C→A＋λC→B，则 λ＝(
)
A．23
B．13
C．－13
D．－23
• [答案] C
3．以下选项中，a 与 b 不一定共线的是( ) A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1 B．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2 C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1 D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
• (1)已知e1、e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2， b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
• (2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b ＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
[解析] (1)若 a 与 b 共线，则存在 λ∈R，
使 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)． ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
∵e1、e2 不共线，∴43＋－86λλ＝＝00 ，∴λ 不存在，
∴a 与 b 不共线．
•轴上向量的坐标运算
已知轴 l 上的基向量 e，A、B、C、D 在 l 上， 且A→B＝3e，A→C＝－2e，A→D＝4e，将C→B、C→D、B→D用基向量 e 表示出来．
• [答案] －6
[解析] ∵A、B、C 三点共线，∴存在实数 λ，使 A→B ＝λB→C ，
∴2e1＋ke2＝λ(e1－3e2)， ∴k2＝＝－λ 3λ ，解得 k＝－6.
课堂典例讲练
•证明三点共线
已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1 ＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共 线．
•共线向量定理使
ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k值．
[解析] 若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定存在 λ，使
ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，
只能有kλk－－λ＝ 1＝00 ，则 k＝±1.
(5)数轴上两点间的距离公式：|AB|＝__|x_2_－__x1_|_.
1．数轴上三点 A、B、C 的坐标分别为－1、2、5，则( )
A．AB＝－3
B．BC＝3
C．A→C＝6
D．A→B＝3
• [答案] B
• [解析] 由轴上向量坐标的定义
• AB＝xB－xA＝3，BC＝xC－xB＝3. • ∴选B．
(3)轴上两向量的和：设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)e_. 向量A→B的坐标常用 AB 来表示，即A→B＝ABe.
(4)轴上向量的坐标：在数轴 x 上，已知 A 点的坐标为 x1， B 点的坐标为 x2，则 AB＝_x_2－__x_1___.轴上向量的坐标等于向量 终点的坐标减去起点的坐标．
• [答案] C
[解析] 对于选项 A，b＝－2a；对于选项 B，a＝4b；对于 选项 D，a＝－32b.所以选项 A、B、D 中 a 与 b 一定共线．故选 C．
4．设 e1、e2 是两个不共线的向量，已知 A→B ＝2e1＋ke2，B→C
＝e1－3e2，若 A、B、C 三点共线，则实数 k 的值为________．
1．向量共线 如果向量的_基__线__互__相__平__行__或__重__合__，则称这些向量共线或平 行． 2．共线向量基本定理 如果__a_＝__λ_b__，则 a∥b；反之，如果__a_∥__b_(b_≠_0_)___，则一 定存在一个实数 λ，使得 a＝λb. 3．单位向量 给定一个非零向量 a，与 a_同__方__向__且__长__度__为__1____的向量， 叫做向量 a 的单位向量，记作 a0，且 a0＝|aa|.
[解析] C→B＝A→B－A→C＝3e－(－2e)＝5e， C→D＝A→D－A→C＝4e－(－2e)＝6e， B→D＝A→D－A→B＝e.
• 已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－ 3、－1、4求AB、BD、DA的坐标和长度．
[解析] AB＝－3－2＝－5，BD＝4－(－3)＝7，
DA＝2－4＝－2，|A→B |＝5，|B→D|＝7，|D→A|＝2.
4．轴上向量的坐标及其运算 (1)轴：规定了__方__向__和__长__度__单__位__的直线叫做轴．轴与我 们学过的数轴不同，在轴上确定了原点，则该轴就成了数轴． (2)轴上的坐标：已知轴 l，取单位向量 e，使 e 与 l 的方向 相同，对于轴上任意向量 a，一定存在惟一实数，x 使 a＝__x_e___； 反过来，任意给定一个实数 x，总能作出一个向量 a＝xe，即实 数与这条轴上的向量建立了_一__一__对__应___关系，x 叫做 a 在轴 l 上的_坐__标__(_或__数__量__)．x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e 的方向 相同时，___x_>_0_____；当 a 与 e 的方向相反时__x_<_0______． 轴上向量坐标化，奠定了向量数量化的基础，轴上向量的 运算可以转化为实数的运算．
[解析] 欲证 A、B、D 三点共线，只须证A→D与A→B共线即 可．
∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B，
∴向量A→D与向量A→B共线． 又∵A→B和A→D有共同的起点 A， ∴A、B、D 三点共线．
第二章
2.1 向量的线性运算
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
第二章
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
• 首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是 世界上现存最长的城市中轴线，在北京700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的 作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不 是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午 线重合．你知道科学家们是如何判断的吗？
2．(2015·河南南阳高一期末测试)A、B、D 三点共线，对任
一点 C，C→D＝43C→A＋λC→B，则 λ＝(
)
A．23
B．13
C．－13
D．－23
• [答案] C
3．以下选项中，a 与 b 不一定共线的是( ) A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1 B．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2 C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1 D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2