函数关系的建立教案

数 学 教 案

课题：函数关系的建立（第一课时）

一．教学目标

过程与方法：通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程．

知识与能力：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域．初步形成把实际问题转化成数学问题的建模能力．

情感态度与价值观：通过本节课的学习，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物．

二【教学重点】 建立实际问题中两个变量间的函数关系．

三【教学难点】 把实际问题转化成数学问题，建立函数关系并确定它的定义域．

四、教学流程设计

五、教学过程

设计

（一）、提出问题 引入新课

1．问题1.用一根长为l 的铁丝,制成如图所

示的框架,问如何设计,使得框架的面积S 最大.

2.分析:

分析:设矩形框架的宽为x ,那么长为2

4x l - 面积=长⨯宽, 所以,2

4x l x S -⋅= ∴ x l x S 222--=, 又,024>-x l 且0>x , ∴4

0l x << ∴x l x S 222--= (4

0l x <<) 我们今天就先学习如何建立函数关系.

3.小结

建立函数关系解题的步骤:

(1)仔细审题,设出适当的自变量 (2)找出等量关系,列出函数关系式

(3)根据问题的要求,作适当的变形 (4)根据实际要求,写出函数定义域

[说明]

理解函数的概念,目的是进一步通过建立函数关系解决实际问题,从一个简单的实际问题1的提出,能引起学生的思考,学生能体会到要用数学方法解决这个实际问题时,首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来.说明建立函数关系的重要性,对于函数的最值问题在以后的函数性质中再解决.

（二）、尝试方法 体验过程

问题2 如图，有一个圆柱形的无盖纸杯，它的表面积是100cm 2（杯子的厚度忽略不计），设底面的半径为x (cm )

（1）写出杯子的高度h (cm )关于x (cm )的函数关系式；

（2）写出杯子的容积V (cm 3)关于x (cm )的函数关系式。

解：根据题意，

（1）表面积等于底面积与侧面积之和，则

h x x ⋅+=ππ21002

化简整理得 x x h ππ21002-= 另一方面，根据实际意义，必须x ＞0且1002

π100<

⎫ ⎝⎛ππ100， （2）容积等于底面积乘以高，则

21002100322

2x x x x x h x V πππππ-=-⋅=⋅=，同样地，必须ππ100<

⎫ ⎝⎛ππ100， 解题反思：在解决了上述两个问题之后，我们有哪些心得？

在设定了适当的自变量之后，寻求等量关系和确定函数的定义域是关键。在确定函数的定义域时，可以从三个方面考虑：表达式本身限定、人为规定、实际意义。

问题3 一家物流公司有10辆货车要从A 站匀速驶往相距2000千米的B 站，且时速均为v 千米/时（为安全起见，要求车速不能超过v 0千米/时，v 0为常数），同时要求前后两辆货车的间隔等于kv 2千米（k 为常数，货车长度忽略不计），请将第一辆货车由A 站出发到最后一辆货车到达B 站所需时间t 表示成v 的函数．

解法一：10辆车9个间隔，所以，头车与尾车间隔为9

kv 2，整个过程分为两个阶段

① 头车出发后经过时间t 1，尾车刚出发。由219kv t v =⋅得t 1 = 9kv

② 尾车出发后经过时间t 2，到达B 站。由20002=⋅t v 得v

t 20002= 故所求函数为v

kv t 20009+=，v ＞0 （三）、巩固练习

1.把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是x 厘米，将矩形的面积S 表示成边长x 的函数. 答：)200(4002<<-⋅=x x x S .

2、建造一个容积为38000m ，深为m 6的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为a 元2/m ,池底造价为2a 元2/m ,把总造价y 元表示成底的一边长x （m ）的函数.

答： （1）总造价=y 底面造价+侧面造价=底面积⨯a 2+侧面积a ⨯

（2）)34000(1238000x

x a a y ++=)0(>x . （四）、课堂小结

1．

2.

(1)认真仔细审题,设出适当的自变量;

(2)找出等量关系,列出函数的关系式;

(3)根据问题要求,作适当的变形;

(4)根据实际要求,求出函数定义域.

（五）、教学设计说明

通过对函数函数关系的建立内容的分析,教学过程中，根据学生的实际水平，选择适当的具有实际背景的问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，是本课题教学的基本目标.

从实际问题出发,说明利用函数解决实际问题,建立函数关系是很重要的,而把实际问题转化为数学问题,许多学生中存在着畏难的情绪,所以,教学过程中要精心选择适当的问题,把问题解决分解为四个步骤,如何设出适当的自变量,找出变量之间的等式关系.例2中变量之间的关系仍不明确,进一步设出中间变量,通过代换,建立函数关系;确定例2函数的定义域,也是一个难点.所以,让学生从两种不同的角度理解如何求实际问题的定义域.

解题反思：回顾建立函数关系的过程，我们得到哪些启发？

就像我们过去学习“列方程（组）解应用题”时用到了“设、列、解、答”这几个步骤一样．让我们一起来归纳建立函数关系的一般步骤：

（1）设自变量——认真仔细审题，设定适当的自变量；（为什么选正方形的边长）