数学归纳法课件(推荐)

探究任务一：一个数学问题新的证明方法
“对于数列｛an｝，已知a1＝1a，n1
＝1，2，…），通过对n = 1，2,
1
3,
an （n 4a前n 4项的
归纳，我们已经猜想出其通项公式为an
1 n
”.
怎样类比人的多米诺骨牌游戏
原理，通过有限个步骤的推理，
证明n取所有正整数都成立？
多米诺骨牌游戏原理
证明数列的通项公式是 骤
1Hale Waihona Puke Baidun
”.
怎样证明这个猜想？
逐一验证是不可能的
第一个人倒 下，是否所 有人都倒下？
第k+1个人是 如何倒下？
要保证每个人都 倒下，必需满足
什么条件？
第一，第一个人必须倒下； 第二，任意相邻的两个人，前一个 人倒下一定撞到后一个.
条件2的作 用时什么？
条件2给出了一个递推关系： 当第k个人倒下时，相邻的第k+1个 人也倒下.
1 3即n5k1时 等(2式k也成 1) 立.(2k 12)
根k据2 1(和2k2，1)可知等k 式1对2任何 n N 都成立.
结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步 骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
理解新知
问题3：讨论 2n 与n2 的大小
由1和2，可知等式对任何 n N 都成立.
理解新知
问题1：甲同学猜想 1 3 5 2n 1 n2 1
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 1 上述证明是错误的,事实上命题
那么
1 3 5 (2n 3) (2n 1) n2 1
1 3 5 (2k 1) (2k 1) 本身是错误的
k 2 1 (2k 1) (k 1)2 1 当n=1时,左边=1,右边=0
即n=k+1时等式成立。
左边 右边
所以等式对一切自然数 n N 均成立。 上述证法是正确的吗？为什么？
结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了 保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n 0
(n ∈N* 0
)时命题成立。
（2）(归纳递推) 假设n=k(k≥n0，k∈N* ) 时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命
题对从n0开始的所有自然数都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法.
理解新知
问题:2：乙同学用数学归纳法证明
1 3 5 2n 1 n2
如采用下面证法，对吗？为什么
证明：1当n 1时,左边 1 右边
2假设当n k时，等式成立，即 1 3 2k 1 k 2
上述证 则明 n 没k 有 1时 用，到n=k命题成立这一归纳假设
正解： 1 3 2k 1 k 11 2k 1 k 12
变式训练
用数学归纳法证明 1 2 3 n 1 nn 1
证明：1当n 1时,左边 1 右边
2
2假设当n k时，等式成立，即1 2 k 1 kk 1
则n k 1时，
2
1 2 k k 1 1 kk 1 k 1
2
1 k 1k 2 1 k 1k 11
2
2
即n k 1时等式也成立.
武汉市洪山高级中学 吴瑾
课前准备
类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
归纳推理
归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理．
“对于数列｛an｝，已知a1＝1a，n1
＝1，2，…），通过对n = 1，2,
1
3,
an （n 4a前n 4项的
归纳，我们已经猜想出其通项公式为an
21 12
22 22
23 32
24 42
25 52
26 62
27 72
28 82
猜想： n满足什么条件时，2n n2恒成立？
n5
用数学归纳法证明，第一个取值为5.
结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
结论
学习小结
本节课你又什么收获？
1、知识收获
数学归纳法及其证明步骤
2、方法收获
类比法 归纳法
作业:
课本 P96 B组练习1.2题
1.知道空气的质量相对很轻，并且空 气的质 量是可 以测量 的。掌 握测量 空气质 量的实 验方法 。 2.经历测量一袋空气的实验，培养细 致、认 真观察 记录的 能力， 学会运 用思辨 的方法 获得科 学概念 。 3.经历实验探究，体会科学实验的趣 味性与 严谨性. 4.认 识 地 球 是 不透 明、不 发光的 球体， 在阳光 照射下 会产生 昼夜交 替现象 。 5.知 道 昼 夜 交 替现 象有多 种可能 的解释 。 6.初 步 理 解 昼 夜交 替现象 与地球 和太阳 的相对 圆周运 动有关 。 7.认 识 到 积 极 参与 讨论， 并发表 有根据 的解释 是重要 的。 8.认 识 到 同 一 现象 ，可能 有多种 不同的 解释， 需要用 更多的 证据来 加以判 断。
用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n )0 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对所有的自然 数n ( n ≥ n 0)都成 立。
例 用数学归纳法证明
递推 基础
递推依 据
凑假设
即当n k 1时，等式成立.
由1和2知，等式对任何n N都成立.
an
1 n
的步
（1）第一个人倒下。 （1）当n=1时猜想成立。
（2）若第k个人倒下时， 则相邻的第k+1个人也倒
（2）若当n=k时猜想成立，
则当n=k+1时猜想也成立
下。
根据（1）和 （2），可知 不论有多少个人都能全部 倒下。
根据（1）和（2），可知对所 有的自然数n，猜想都成立。
——
探究任务二：提炼原理，得出概念