随机变量X的分布函数

6. 纺织工厂中一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时,由于 偶然原因，纱会扯断。设在某一段时间内每个纱锭上的纱被扯
断的概率为0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。
解 设随机变量X 表示在这段时间内断纱次数，
X ~ B800,0.005. ∴所求概率分布为：
10
P0 X 10 C8m00 0.005 m 0.095 800m m0 4
求：（1）系数 A；（2）X 落在区间(0,1)内的概率；
（3） X 的分布函数。
解 （1）

f ( x)dx
A

e

x
dx
2A
e x
dx


0
2Aex 2A 1 A 1
0
2
（2）P0 X 1 1 1 e x dx 1 ex 1 1 (1 e1 ) 0.316
f
x



1 x2
当x 1 ,
0
当x 1
求：
（1）系数A
；（2）随机变量X落在区间


1 2
,
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
内的概率；

（3）随机变量X的分布函数。
解 （1） f xdx 1
A 1

（2）P 1 X 1
2
2
1
2
PX 2 1 PX 0 PX 1 0.7447
3
5. 一本书中每页印刷错误的个数X 服从泊松分布P0.2,
写出X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个的概率。
解 X的概率分布为：PX k 0.2k e0.2
k!
查表求
PX 1 PX 0 PX 1 0.8187 0.1638 0.9825
1
3 20个产品中有4个次品，抽取6个产品，
（1）不放回抽样，求样品中次品数的概率分布；
（2）放回抽样，求样品中次品数的概率分布。
解 ⑴ 不放回抽样，设随机变量X 表示样品中次品数，
则X的所有可能取的值为： 0、1、2、3、4,
P
X i

C4i C166 i C260
X
0
1
2
3
4
Pxi 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031
⑵ 放回抽样，设随机变量Y 表示样品中次品数，
则X的所有可能取的值为：0、1、2、3、4、5、6,
2
PY

k
C6k

1 k
5
4 6k
5
X0 1 2 3 4 5 6
Pxi 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001
∵总的纱锭个数n = 800 较大, 且 p = 0.005 较小，
∴X 近似地服从泊松分布 P , 8000.005 4
P0 X 10 10 4m e4 0.9972
m0 m ! 1 7. 函数 1 x 2 可否是连续随机变量X 的分布函数，如果
Y3
2
.
解
X的概率分布为:
P(X

i)

C
i 3
0.4
i
0.63i ,
i 0,1,2,3
X
01 23
P( xi ) 0.216 0.432 0.288 0.064
8
1 Y1 X 2 :
Y1
Py j
01 49
0.216 0.432 0.288 0.064
2 Y2 X X 2;
解 X ~ U 5 105 ,5 105
所以X
的概率密度为：f
x

10000,
0,
x 5 105 其它
11. 设随机变量X服从二项分布B（3，0.4），求下列随机变量
函数的概率分布：
1 Y1 X 2;
2 Y2 X X 2;
3
X 3 X
20
2 02
（3）F x x 1 e x dx
2
x 1 e xdx 1 e x
2
2
x0
0 1 e xdx x 1 exdx 1 1 ex x 0
2
02
2
7
10. 在四位数学用表中，小数点后第四位数字是根据“四舍五入” 原则得到的，由此而产生的随机误差X 服从怎样的概率分布？
X 的可能值充满区间：（1） ,; （2） ,0
解 ⑴ F 0 1 不是；
⑵ F 0 F 0 1 且函数单调递增，
所以
F
(
x
)


1
1 x
2
1
x 0 可以是X的分布函数。 x0
5
A
8.
随机变量X的概率密度为
Y2
P( y j )
4. 进行8次独立射击，设每次射击击中目标的概率为0.3， ⑴ 击中几次的可能性最大？并求相应的概率； ⑵ 求至少击中2次的概率。
解 击中次数X服从 B8,0.3, PX k C8k 0.3k 0.68k
经计算，知
PX

2
C
2 8
0.32
0.76

0.2965为最大值.
2. 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p， 求射击次数的概率分布及其分布函数。
解 设随机变量X表示射击次数， 则X 服从几何分布。 P( X m) p(1 p)m1 m 1, 2
∴X的概率分布表如下： ( p q 1)
X
12
3 n
P(X m)
p
pq
pq2
pq n1

显然，当 x 1 时，F( x) P( X x) 0; 当 x 1 时，
F( x) P( X x) [ x] pqm1 p 1 q[ x] 1 q[ x] 1 (1 p)[x]
m 1
1q
其中，[x]为 x 的整数部分。
1 2
1 dx 1
1 x2
3
0
x 1
x
x
F ( x) f ( x)dx
1
dx 1 1 arcsin x 1 x 1

1 1 x2
2
1
x1
6
9.设随机变量X的概率密度为 f (x) Ae x , x ,