高一数学上学期期末考试试题(含答案)

高一上学期期末考试
一、填空题
1 集合A ={ —1,0}, B ={0,1}, C ={1,2},则(Ap|B)|」C= .
2.函数f(x)二log! (2^1)的定义域为__________________
寸2
3 .过点(1，0 )且倾斜角是直线x-、..3y-1=0的倾斜角的两倍的直线方程
是__________ .
4.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是___________________
5•点P 1,1,-2关于xoy平面的对称点的坐标是
6. 已知直线3x 4y -^0与直线6x my 1^0平行，则它们之间的距离是
7. 以点C (—1 , 5)为圆心，且与y轴相切的圆的方程为 __________________
8. 已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4) , 且|AB=2V6,则实数x的值是______________ .
9. ______________________________________________ 满足条件{0, 1}U A={0,
1}的所有集合A的个数是______________________________ .
10. __________________________________________ 函数y=x2+ x ( —K x < 3 )
的值域是________________________________________ .
11. 若点P(3, 4), Q(a, b)关于直线x—y—1 = 0对称，则2a—b的值是 _______.
12 .函数y = -x2 -4mx 1在［2, •：：)上是减函数，则m的取值范围
是________________ .
13 .函数f(x)=^(a.且1在［1,2］上最大值比最小值大-,则a的值
2
为___________ .
14 . 已知函数f(x)= mx2mx 1的定义域是一切实数，则m的取值范围
是__________ .
二.解答题
15、(1)解方程：lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; (2) 解不等式：21 -2 x
16. (本小题12 分)二次函数f (x)满足f (x+ 1) —f (x) = 2x 且f (0) = 1. ⑴求f (x)的解析
式；
⑵当X •［—1, 1］时，不等
式：f (x) 2x m恒成立，求实数m的范
围.
17. 如图，三棱柱ABC- ABC,
AB=6 , D 为AC 中点.
⑴求三棱锥G - BCD的体积;
(2) 求证：平面BCQ _平面ACC1A1;
(3) 求证：直线AB,/平面BC i D .
18. 已知圆C:(x_3)2・(y 一4)2=4，直线l i 过定点A (1, 0).
(1)若l i与圆C相切，求l i的方程；
(2)若11的倾斜角为一，h与圆C相交于P, Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
4
(3)若11与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时11的直线
方程.
19. (本题14分)已知圆M : x2・(y-2)2 =1，定点A 4,2在直线x-2y =0上，点P在
线段OA上，过P点作圆M的切线PT ,切点为T . (1)若MP「5，求直线PT的方程；(2)经过P,M,T三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L.
20. 已知O C1：x2 (y S2=5，点A(1-3)
(I)求过点A与。

C1相切的直线I的方程；
(U)设。

C2为。

G关于直线I对称的圆，则在x轴上是否存在点P,使得P 到两圆的切线长之比为-.2 ?荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
参考答案
一、填空题
1. "39』2 . (1, ：) 3 . 1 4 . 6 5 . 2x -3y 7=0 6 . 450
7. 2 2
(x-1) (y-1) =2
8. 异面9. 810. 相交11. 1212. \ 13. (A)⑵(4)(B)①③
14
(A)号(B) (1'2 3)
.
、解答题:
求证：
(1) FD//平面 ABC (2)平面 EAB
证明：
(1)取AB 中点G ,连CG, FG A
15.设 y^a 3x5,y^a-x ,(其中 a . 0且 a=1 ) (1)
当y i 曲2时，求x 的值； (2)当屮y 时，求x
的取值范围
答案：(1) x — ; (2) 当 0 ： a :: 1，一:; a 1 时，-1,：：
16. 在正方体 ABCD —ABGD 1中。

二面角G —BD -C 大小的正切值。

答案：
(1) BD _ AC,BD _ AA ， 证到BD _平面AAC 1C (2)
CQC 是二面角的平面角
在 Rt CQC 中，tan CQC 七2
17. 已知圆C: C 于A 、B 两点
(1) 当I 经过圆心C 时，求直线I 的方程; (2) 当直线I 的倾斜角为450时，求弦AB 的长。

解：(1) 2x —y —2=0 ； (2)直线L 方程为x —y=0，圆心到直线L 的距离为
可以计算得：AB ='$34
18.如图，已知△ ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a ， DC=a ， F 是BE 的中点。

(x —1”y 2=9内有一点P (2，2)，过点P 作直线I 交圆 (1)求证：BD _ 平面 AAC 1C ； (2)求 D 1
C 1
四边形DFGC 是平行四边形，得到DF//CG
DF -平面 ABC ， CG 二平面 ABC
所以FD//平面ABC
(2)可以证明CG _平面EAB , 又DF //CG ，所以DF -平面EAB
DF 平面EBD ，所以，平面 EAB1
平面EDB
另：可以用AF _平面EBD ，证明：平面EAB 丄平面EDB
19・(A )已知圆M : X 2 (y -2)2 = 1，定点A 4,2在直线x-2y=0上，点P 在线段OA 上，过P 点作圆M 的切线PT ,切点为T . (1)若MP 二5，求直 线PT 的方程；(2)经过P,M,T 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小 值L 。

答案：(1)先由MP ^5求得：P(2,1)
直线x =2与圆不相切，设直线PT ： y _1=k(x —2)，即：kx —y ・1 — 2k =：0 圆心M (0,2)到直线距离为1，得:k = 0,或k _ -
3
直线方程为：y=1或4x3y-11=0
(2)设P(2t,t)(0红乞2)，经过P,M,T 三点的圆的圆心为PM 的中点
t =0时，得OD 的最小值L =1
(B )已知圆M : x 2 (y-2)—1，设点B,C 是直线I : x -2y =0上的两点，它 们的横坐标分别是t,t 4(r R)，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ,
丄
_2 + 1 .
1 + t +
2
D
1 -
2 + ^1
切点为A . (1)若t =0, MP =$5，求直线PA 的方程；(2)经过A,P,M 三点的 圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值L(t).
答案：(1)先由MP-5求得：P(2,1) 直线x=2与圆不相切，设直线PT : y_1=k(x_2)，即: 圆心
M(0,2)
到直线距离为J 得："0,或k =
直线方程为：y =1或4x 3y -11 = 0
1
(2)设 P(x, x) (t 乞 x Et 4),
经过PMT 三点的圆的圆心为
PM
的中点。

寸"］ 所以OD 2
」x 2
1 H^x 2
仁仝x
4
4 I 4 丿 16
2
161 5丿 5
t 2』t+1 t >-4
2
5
16
t 2 3t 8 t <
-24
(1)当a=1时，求函数f(x)在(0, •：：)上的值域，并判断函数f(x)在
(0,；)上是否为有界函数，请说明理由；
(2) 求函数g(x)在［0,1］上的上界T 的取值范围；
(3) 若函数f(x)在(=,0］上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范 围。

讨论得：L(t)二
24
4 t ■:
5
5
20. (A)定义在D 上的函数
f(x)，如果满足；对任意
x D ，存在常数
M 0，都有| f (x)| M 成立,
则称f (x)是D 上的有界函数，其中M 称为
函数f(x)的上界。

已知函数
x
—。

f(x) =1 丈2x 4x , g(x)」「
2
解：(1)当 a 二1 时,f (x) =1 2x 4x ，设 t =2x , x (0,：：),所以:^\1,--
y = t 2 +t 十1,值域为(3,畑)，不存在正数
M ，使X E 0切 时，| f (x) |兰M 成
立，即函数在x (0,：：)上不是有界函数。

⑵设“，冲,21，y 唱唱-1在tW 】上是减函数’值域为
1 —,0 3
要使
|f(x)
KT 恒成立'即：Q
(3)由已知x w (q ,0】时，不等式f(x)M3恒成立，即：1 + aj2x +4x |£3
设t =2x ，t 0,1 ］，不等式化为1君t 2| 3
方法(一)
讨论：当0：：：-2乞1即：-2 < a ：. 0时，1-丄&2_-3且2乞3得：-2乞
a ：：： 0 2 4
当- |乞0或-1 _1 即：a _-2 或 a_0 时，一3乞 2 a^3，得 -5 乞 a —2 或 a <1 综上，-5岂a 乞1 方法(二)
抓不等式1 at t 2_-3且1 at t 2岂3在t 0,11上恒成立，分离参数法得
-a t *且-a-t-^在t 0,11上恒成立，得-5乞a ^1。

(B)定义在D 上的函数f(x)，如果满足；对任意D ，存在常数M • 0， 都有
|f(x)^M 成立，则称f(x)是
D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x)
(1) 当a=1时，求函数f(x)在(0, •：：)上的值域，并判断函数f(x)在
(0, 上是否为有界函数，请说明理由；
(2) 若函数f(x)在(」：,0］上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范
的上界。

已知函数f (x^1 |_2X 4x ，
g(x
八霊
围；
（3）若m .0，求函数g（x）在［0,1］上的上界T的取值范围。

解: （1）当 a =1 时，f （x） =1 2x 4x，设t =2x, x （0,：：），所以:仁［1,：：y=t2+t+1，值域为（3,母），不存在正数M，使x^0咼）时，|f（x）|兰M 成立，即函数在x （0,：：）上不是有界函数。

（2）由已知x・-：：,0时，不等式f（x）乞3恒成立，即：1 •曲一4「3 设t =2x，“ （0,1】，不等式化为1+OJt+t2卜3
方法（一）
讨论：当0：：：-2 乞1 即：-2 < a ：. 0时，1-丄42_-3且2^3得：-2 < a 0
2 4
a o
当0或1即：a乞一2或a_0时，一3乞2 a^3，得-5< a< -2或0乞a乞1
2 2
综上，-5 _ a _ 1
方法（二）
抓不等式1 at t2_-3且1 at t2乞3在t 0,11上恒成立，分离参数法得<t 4且—a_t_2在t"0,11上恒成立，得-5"叮。

（3）当m（0, 2］时，T的取值范围是［匕』,；）；当m（二2,二）时，T 的
2 1 +m 2
取值范围是^,-
H_2m 1。