第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

答案： x＋y－3＝0
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[冲关锦囊]
1．圆的弦长的常用求法 l (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(2)2＝r2－d2 (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. a2－2a＋1 因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝ .① 2 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2 ＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 烟台模拟)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx
－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为 A．相离 C．相交 B．相切 D．以上都有可能 ( )
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解析：∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圆 心为(1，－2)，半径r＝3.又圆心在直线2tx－y－2－2t
答案：C
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4．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x －1被圆C所截得的弦长为2 直线的方程为________． 2 ，则过圆心且与直线l垂直的
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解析：依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0， 则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为 根据勾股定理可得， |a－1| 2 ( ) ＋( 2)2＝|a－1|2， 2 解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)． 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0. |a－1| ， 2
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|－1×3－4×3＋6| 9 d＝ ＝5. 32＋42 24 24 所以利用勾股定理得到AB＝2 r －d ＝ 5 ，即两圆的公共弦长为 5 .
2 2
答案：3x－4y＋6＝0
24 5
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1．圆的切线问题 (1)过圆 x2＋y2＝r2(r>0)上一点，点 M(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2； (2)过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外一点 M(x0，y0)引切线， 有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为 T 的切线长 公式为|MT|＝ x2＋y2＋Dx0＋Ey0＋F＝ |MC|2－r2(其中 0 0 C 为圆 C 的圆心，r 为其半径)．
C
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5．(2012· 江南十校联考)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2： x2＋y2－4y＝0的位置关系是 A．相离 B．相交 ( )
C．外切
D．内切
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解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为 (0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝ 5，而r2－r1＝1， r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．
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[自主解答]
依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝
a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋ (1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1， C2的横坐标，|C1C2|＝ 2× 102－4×17＝8.
[答案]
答案： B
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6．(2012· 皖南八校联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心 的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆 Q交于A、B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值
为________．
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解析：由题意可知 QA⊥PA，QB⊥PB，故 PA，PB 是圆 Q 的两 条切线，由以上知∠APB＝2∠APQ， 在直角三角形 APQ 中：PQ＝ 4－12＋42＝5. AQ＝3.∴AP＝4. 42 7 ∴cos∠APB＝2cos ∠APQ－1＝2×(5) －1＝25.
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3．(2012· 广州模拟)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋ 3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为 A．y＝－ 3x 3 C．y＝－ 3 x B．y＝ 3x 3 D．y＝ 3 x ( )
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解析：如图所示，可知AC＝1，CO＝2，AO＝ 3， 3 3 ∴tan∠AOC＝ 3 ，所以切线为y＝－ 3 x.
2
7 答案：25
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[冲关锦囊]
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆 心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数
法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两
圆的方程作差消去x2、y2项得到．
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易错矫正 况而致误
忽视直线斜率不存在的情
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[考题范例] (2011· 东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为
答案： D
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3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－ 2y＋1＝0的公切线有且仅有 A．1条 C．3条 B．2条 D．4条 ( )
解析：可判断圆C1与C2相交，故公切线有两条． 答案： B
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4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y －8＝0截得的弦长等于________．
解析：设两圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两
点满足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与x2＋y2－4x＋2y－11
＝0，将两个方程相减得3x－4y＋6＝0，即为两圆公共弦 所在直线的方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3， 用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为：
第 八 章
第四 节
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
平 面 解 析 几 何
直线 与圆、 圆与 圆的 位置 关系
提 能 力
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[备考方向要明了] 考 什 么 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3π π ∴ AMB ＝ ， ANB ANB ＝ .
2
2
∴ AMB － ANB ＝π.
答案： C
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[冲关锦囊]
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 >0⇔相交， 判别式 (1)代数法：――――――→＝0⇔相切， Δ＝b2－4ac <0⇔相离. (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相 交，d＝r⇔相切，d>r⇔相离.
3 3 C．[－ ， ] 3 3
3 3 D．(－∞，－ )∪( ，＋∞) 3 3
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[自主解答]
整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1
为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直 线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交 点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝ |m1＋1－0| 3 3 <r＝1，解得m∈(－ 3 ， 3 )，又当m＝0时，直 2 m ＋1 线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．
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怎 么 考
从高考内容上来看直线与圆、圆与圆的位置关系是
命题热点，题型多为选择、填空题，着重考查圆的切线 与弦长的问题，难度中低档，注重数形结合思想的考查 应用.
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一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半 径为r) 相离 图形 相切 相交
方程
量化 观点 几何 观点
＜0
＝0
＞0
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2．两圆的方程组成的方程组有一解或无解时．不能准 确地判定两圆的位置关系，当两圆方程组成的方程 组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况．当 方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．
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[精析考题] [例 1] (2011· 江西高考)若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0 与曲线 C2：y(y－mx －m)＝0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 A．(－ 3 3 ， ) 3 3 B．(－ 3 3 ，0)∪(0， ) 3 3 ( )
交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)． 故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2 2)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为 32＋t－12＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
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(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
x－y＋a＝0， x－32＋y－12＝9.
＝0上，∴圆与直线相交．
答案： C
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2．(2012· 绍兴模拟)直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的 两段弧长之差的绝对值是 π A. 4 C．π π B. 2 3π D. 2 ( )
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2 解析：如图，在△AOB中，OC⊥AB，OB＝ 1， OC＝ . 2 π π ∴∠BOC＝ .∴∠AOB＝ . 4 2
解析：由题意知圆心为(－2,2)，r＝4. 则圆心到直线的距离d＝ 2. 又∵r＝4，∴|AB|＝2 14.
答案：2 14
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5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－ 4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为
________，公共弦长为________．
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(
A．5x＋12y＋20＝0 C．5x－12y＋20＝0 B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
)
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[失误展板] 错解：设直线方程为 y＝k(x＋4) ∵圆心(－1,2)，r＝5，由被圆截得的弦长为 8 ∴圆心(－1,2)到 y＝k(x＋4)的距离为 3.即 |3k－2| 5 2＝3.∴k＝－12. 1＋k 即直线方程为 5x＋12y＋20＝0.
[答案]
B
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本例条件中“有四个交点”变为“有且只有两个交点”，再 求m的取值范围．
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解析：由曲线C2知为x轴与y＝m(x＋1)， 作图分析知．曲线C1与x轴必有两个交点． 故只需保证y＝m(x＋1)与圆C1无交点或过圆心即可 |2m| 3 3 ∴由 >r或m＝0得m＝0或m> 3 或m<－ 3 ， m2＋1 3 3 即此时m的取值范围是m＝0或m> 3 或m<－ 3 .
C．相切
D．相切或相交
解析：圆心(0,1)半径 r＝1，则圆心到直线 l 的距离 |k| d＝ 2<1. 1＋k
答案： B 返回
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1， 3)处的切线方程为 A．x＋ 3y－2＝0 C．x－ 3y＋4＝0 B．x＋ 3y－4＝0 D．x－ 3y＋2＝0
(
)
解析：设切线方程为y－ 3＝k(x－1)，由d＝r，可求得k 3 ＝ 3 .故方程为x－ 3y＋2＝0.
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错因：上述解法不正确的主要原因在于误认为斜率k一定
存在．对于过定点的动直线，设出直线方程时，可结合
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[精析考题] [例2] (2011· 新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy中，
曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB， 求a的值．
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[自主解答]
(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的
d ＞r
d＝r
d ＜ r
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二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝
|O1O2|)
相离 图形 量的 |r1－r2|＜ d＝ |r 1 d＜r1＋r2 －r2| 外切 相交 内切 内含
关系
d＞ r1＋r2 d＝r1＋r2
d＜|r1－ r2 |
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1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－ 2y＝0的位置关系是 A．相离 B．相交 ( )
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2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否 在圆上．然后认出切线方程，用待定系数法求解．
注意斜率不存在情形.
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[精析考题] [例3] (2011· 全国高考)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝ A．4 C．8 B．4 2 D．8 2 ( )