基本数学模型的建立

1 kr p [r ] q r r r t
单相流数学模型
油藏条件
势函数
pD
k q t
单相流数学模型
地面条件
sc B

sc
B
sc k sc pD q B t B
0
1
f w ( sw ) f w ( sw )
f w ( sw )
f w ( sw )
1 sor 1
0
swc
1 sor 1
sw
swc
sw
油水两相数学模型
贝克莱驱油理论
1
忽略毛管力及压缩性、均质
f w ( sw )
f w ( swf )
sw s wf swc
t1 t 2 t3
sw 1
微可压缩性 地 层 条 件 地 面 条 件
k p pD q Ct t
Ct p k pD qsc B B t
单相流数学模型
微可压缩性
忽略重力、且为均质油藏
K P P P P ( 2 2 2 ) Ct x y z t
考虑源汇项(注入或采出)时，
vx v y vz q x y z t
q
注入为正、采出为负
单相流数学模型
微分算子
设向量v在x, y, z三个方向的分量为vx, vy, z vz,,如图所式
vz v
vx y vy
单相流数学模型
微分算子
Laplace算子
v v
2
Vx V y Vz ( i j k) ( i j k) x y z x y z 2V 2V 2V 2 2 2 x y z
单相流数学模型
单相流微分方程通用表达式
k pD qsc B t B
单相流数学模型
不考虑压缩性

k

pD q 0
不考虑重力和源汇项
k p 0
均质
p0
2
单相流数学模型
微可压缩性
1 dVl 1 d CL - Vl dp dp
油水两相数学模型
油相方程
kkro po oD qo o So o uo t
水相方程
kkrw pw wD q w w S w w uw t
油水两相数学模型
地面条件
kkro So po oD qosc B0uo t B kkrw S w pw wD qwsc Bwuw t B
x
v = vxi+vyj+vzk
单相流数学模型
微分算子
向量的散度
div(v) v ( i j k ) (v x i v y j v z k ) x y z vx v y vz x y z
向量的梯度
v y vx vz grad(v) v i j k x y z
油水两相数学模型
辅助方程
未知量：压力Po、Pw、So、Sw
So Sw 1 Pc( Sw) Po Pw f ( Sw)
油水两相数学模型
贝克莱驱油理论
v
A
忽略毛管力及压缩性、均质
x
vw S w vw x t
sw q f w q df w S w t A x A dS w x
油相运动方程
kkro po oD vo uo
油水两相数学模型
水相方程
dt时间内，纯流入微元体的油相质量为：
( vw x ) ( vwy ) ( vwz ) [ ]dxdydzdt x y z
dt时间内，微元体中油相质量增加量为：
(w S w ) dxdydzdt t
vx v y vz q x y z t
v q t
单相流数学模型
运动方程 适用条件：流体流速不太高，符合层流运动
K p D vx u x x K vy u K vz u p D y y p D y z
由质量守恒定律建立连续性方程
( vw x ) ( vwy ) ( vwz ) (w S w ) x y z t
油水两相数学模型
考虑源汇项
w vw qw w S w t
水相运动方程
kkrw pw wD vw uw
了C1~Cn间所有的分子化合物；
组分：在油藏条件下，具有化学稳定性的每一种化学物； 相：体系中具有相同物理和化学性质的任何均匀部分，组成相
的物质可以是混合物，也可以是纯净物；相间具有界面，可通过 机械方法等将其分开；
质量交换：当体系条件变化时，同一组分在某一相中的比例减
K v (p D) u
单相流数学模型
油藏条件
v q t
k pD q t
k x p D k y p D k z p D ] [ ] [ [ ] q x x x y x y z z z t
假设：岩石、流体均可压缩； 分析：两相流、未知量为压力Po、Pw、So、Sw 推导：质量守恒方程(连续性方程)
运动方程
油水两相数学模型
油相方程
dt时间内，纯流入微元体的油相质量为：
( vo x ) ( voy ) ( voz ) [ ]dxdydzdt x y z
又对某一含水饱和度取全微分：
f w ( sw )
A( x xo )
任意位置含水率的导数

t
0
qdt
是流过该断面累积注水 体积倍数的倒数
油水两相数学模型
贝克莱驱油理论
K rw K ro
忽略毛管力及压缩性、均质
f w ( sw )
K ro K rw
f w ( sw )
w K ro 1 o K rw
z
dz
( vx ) dx vx x 2
o
M
M M
v y vz
( vx ) dx vx dy x 2
dx
x
y
单相流数学模型
X方向dt时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为： (v x ) dx [v x ]dydzdt x 2 dt时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为： (v x ) dx [v x ]dydzdt x 2 则微元体在dt时间内，沿x方向流入流出的质量流量差为： (v x ) dxdydzdt x 同理：
辅助方程：流体辅助方程、参数辅助方程
数学模型的构成
按模型的相划分类型
单相流模型
两相流模型 三相流模型
数学模型的构成
按模型的维数划分类型

零维模型
一维模型 二维模型 三维模型
数学模型的构成
按油藏类型划分模型
气藏模型。 黑油模型 组分模型(凝析油藏、轻质油藏模型）
0
f w ( swf ) f w ( swf ) ( swf swc )
swc
s wf
前缘含水饱和度 确定示意图
多组分模型
数学模型一般式 连续性方程
l vl ql l Sl t
kkrl pl l D vl ul
运动方程
多组分模型
注蒸汽热采模型
化学驱模型
单相流数学模型
假设：岩石、流体均可压缩； 分析：单相流、未知量为压力P 推导：质量守恒方程(连续性方程)
运动方程
单相流数学模型 质量守恒方程
[流入单元内的流体质量]-[流出单元的流体质量] =[质量累积变化]
单相流数学模型
微元体分析法
M 点质量流速：v
分速度分别为：v x
基本数学模型的建立
长江大学石油工程学院 2012-11-15
主要内容
数学模型的构成
单相流数学模型
油水两相数学模型 多组分模型 黑油模型 注蒸汽热采模型
聚合物驱模型
数学模型的构成
守恒方程：质量守恒、能量守恒
运动方程：渗流方程、扩散方程、导热方程
状态方程：流体状态方程、岩石状态方程
q vw fw A
油水两相数学模型
贝克莱驱油理论
忽略毛管力及压缩性、均质
sw sw dx sw sw dsw dt dx 0 ， t x dt t x dx q df w f w ( sw ) t x xo 0 qdt (等饱和度面 A 移动方程) dt A dS w
数学模型一般式 地层条件
kkrl pl l D ql l Sl l ul t
地面条件
kkrl Sl pl l D qlsc B Bl ul t l
多组分模型
组分模型的提出
石油混合物:由碳氢化合物组成的混合物，这种混合物几乎包括
单相流数学模型
油藏条件
极坐标且忽略重力
Biblioteka Baidu
1 kr p 1 k p [r [ ] 2 r r r r
一维径向渗流
k z p [ ] ] q z z t
() dxdydzdt t
由质量守恒定律建立连续性方程
(v x ) (v y ) (v z ) () [ ]dxdydzdt dxdydzdt x y z t
单相流数学模型
(v x ) (v y ) (v z ) () x y z t
2 2 2
P P P 1 P 2 2 2 x y z t
2 2 2
K Ct
导压系数，物理意义为单位时间内压力传播的地层面
积，表明地层压力波传导的速度
油水两相数学模型
物理问题：具有边底水、或进行人工注水开发油田，
当P>Pb时，地层中的流动为油水两相流；
1 dVp d Cf V f dp dp
( ) p p t t t p t p t p p C L C f t t p p (C f C L ) Ct t t
单相流数学模型
Y方向
(v y ) y dxdydzdt
Z方向
( v z ) dxdydzdt z
单相流数学模型
dt时间内，纯流入微元体的流体质量为： (v x ) (v y ) (v z ) [ ]dxdydzdt x y z 微元体封闭表面内的液体质量变化 dt时间内，微元体中流体质量增加量为：
dt时间内，微元体中油相质量增加量为：
(0 S o ) dxdydzdt t
由质量守恒定律建立连续性方程
( vo x ) ( voy ) ( voz ) (0 So ) x y z t
油水两相数学模型
考虑源汇项
o vo qo o S o t