利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短

你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律

思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。

因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。

教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学

基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同

时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、三角形中的轴对称

题目1： 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是

__

点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

二、四边形中的轴对称

题目:2： 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。

三、圆中的轴对称

A

C

第1题图

h

A B

第

4题图1 题目3：已知：如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ON 于点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°，∠AOB ′﹦90°，半径长为1可得AB ′﹦2。当点P 运动到点p ′时，此时AP+BP 有最小值为2

四、立体图形中的轴对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B 关于EH 的对称点B ′,作AC ⊥GH 于点C,连接A B ′。在Rt △A B ′C 中，AC ﹦16, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。 综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

E

F G

B ′

A C ·B

H

第4题图2

第3题图

11．(2015南宁）如图6，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，O

MAB 20=∠,

N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN=1， 则PMN ∆周长的最小值为（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

9．（2015资阳）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是

A ．13cm

B ．261cm

C ．61cm

D ．234cm

跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。

图7

3、变形3： 点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），

请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。

理解转化题意：点A 点B 在X 轴的同旁,作点A 关于x 轴的对称点E ，连结BE 交X 轴于点C, ，交⊙B 于点D ，点C 点D 即为所求。

解：作点A 关于x 轴的对称点E ，作直线BE 交x 轴于点C ，交⊙B 于点D ，连接AC ，则点C 、D 即为所求

∵A （0，2）∴E （0，-2） 设BE 的数学表达式为y=kx+b ，则

∴k=1

图6

P

O

N

M B

A

图5