高考数学(理)二轮练习【专题6】(第3讲)圆锥曲线中的热点问题(含答案)

第3讲圆锥曲线中的热点问题

考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

2．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2

－x1|或|P1P2|＝1＋1

k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下

变形：

|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.

(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4．轨迹方程问题

(1)求轨迹方程的基本步骤：

①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．

⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：

①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；

②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；

④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；

(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题

例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的

一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．

思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．

解 (1)由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧

b ＝1，

a ＝2.

所以椭圆C 1的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝

1

k 2＋1

， 所以|AB |＝24－d 2

＝2

4k 2＋3

k 2＋1

. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2

＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.

所以|PD |＝8k 2＋1

4＋k 2.

设△ABD 的面积为S ， 则S ＝1

2|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，

所以S ＝

32

4k 2

＋3＋134k 2＋3

≤

322

4k 2＋3·

134k 2＋3

＝161313

，

当且仅当k ＝±

10

2

时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±

10

2

x －1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．

已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为1

2

，且椭圆经过点P (1，

32

)． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →

，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．