北京大学保送生数学真题及答案

北京大学保送生数学真题及答案
2012年北京大学保送生考试
数学试题及参考答案
1． 已知数列{}n
a 为正项等比数列，且
34125
a a a a +--=，求5
6
a
a +的最小值．
解：设数列{}n
a 的公比为()0q q >，则231
115
a q
a q a a q +--=，
1235
1a q q q ∴=
+--()251(1)
q q =
+-．由1
a
>知1q >．
()4
5
4
5
56111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44
2
25511(1)
1q q q q q q =⋅+=+--
2
222
11
515122011q
q q q ⎛⎫⎛⎫=++
=-++≥ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭，
当且仅当
2
2111
q
q -=
-即q =5
6
a
a +有最小值
20
．
2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．
证法一：设
()()
20f x mx nx t m =++≠，数列
()()()()()
(
),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >，
则
()()()()()()(
)
()223
,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====，
2ma na t aq
∴++=①
22
()m aq naq t aq ++=②
2223
()m aq naq t aq ++=③
①-②得()()()2
2
111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2
2
2
2
111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．
若1q =，则()f a a =； 若
1
q ≠，则
()21ma q na aq
++=与
()21ma q q na aq
++=矛盾．()f a a ∴=．
证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()
()()()()()
f f f a f f a f a a
f a f f a ==，
()()()()()()()
()()()()()
f f f a f f a f f a f a f a a
f f a f a --∴
=
--．
∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a C f a f a 满足AB
BC
k
k =，
,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．
3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B
+． 解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，
AE MN
AD BC
=，
sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abc
x a c B Ra bc
∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
D Q E
P
N
M
C
B A
,
22abc abc
Rb ac Rc ab
++． ()()()2220
Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，
()()()2220
Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，
∴
这个三角形的内接正方形边长的最小值
为sin sin ac B
a c B
+． 4．从O 点发出两条射线1
2
,l l ，已知直线l 交1
2
,l l 于,A B
两点，且OAB
S
c
∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，
求证：X 的轨迹为双曲线．
解：以1
2
,l l 的角平分线所在直线为x 示的直角坐标系．
设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1
sin 22
OAB
S ab c α∆==，
2sin 2c ab α
=
．
()()
cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，
cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨
-⎪=⎪⎩(1)cos 2
(2)sin 2x
a b y a b αα
+⎧=⎪⎪∴⎨
-⎪=⎪⎩22
(1)(2)-得
22222cos sin sin 2x y c
ab ααα
-==，
∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,
,10i
a i =满足12
10121030,21
a a
a a a a ++
+=<，求
证：()
1,2,
,10i a i ∃=，使1i
a <．
X
证明：用反证法，假设()
1,2,
,10i
a i ∀=， 1i
a ≥．
令
()
11,2,
,10i i a b i =+=，则
i b ≥，且
121020
b b b ++
+=．
()()
()12
101210111a a
a b b b ∴=+++
121012231b b b b b b b =+++
++++
12
232121
b b
b b =+++
≥与
12
1021
a a a <矛盾，
()
1,2,
,10i
a i ∴∃=，使1i
a <．。