数学积分表

75
．∫
x ax + bx + c
2
dx
1 ＝a −
ax 2 + bx + c b 2 a
3
ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c + C
76
．∫ ．∫ ．∫
dx c + bx − ax
2
＝−
1 2ax − b arcsin +C a b 2 + 4ac c + bx − ax 2 + b 2 a3 b 2 + 4ac 8 a
的积分
x−b )+C
．∫ ．∫ ．∫ ．∫
x−a dx x−b x−a dx b− x
＝ ( x − b) ＝ ( x − b)
x−a + (b − a ) ln( x − a + x−b
80
x−a x−a + (b − a ) arcsin +C b− x b− x x−a +C b− x
( a < b)
50
＝−
51
1 a ＝a arccos + C x
52
＝
x ＝2
x2 − a2 +C a2 x
x2 − a2 −
2
53
a2 ln x + x 2 − a 2 x − a ) dx ＝ 8 (2 x − 5a ) x 1 55． ∫ x x − a dx ＝ (x − a ) + C 3
2 2 2 2 3
3 − a 2 + a 4 ln x + x 2 − a 2 + C 8
56
．∫ x ．∫ ．∫ ．∫ ．∫
2
x 2 − a 2 dx
x ＝8 (2 x
2
− a2 ) x2 − a2 −
a4 ln x + x 2 − a 2 + C 8
57
x2 − a2 dx x x2 − a2 dx x2
2 2 2
68
x ． ∫ ( a − x ) dx ＝ 8 (5a − 2 x ) a − x 1 69． ∫ x a − x dx ＝ − (a − x ) + C 3
2 2 2 2 3
3 x + a 4 arcsin + C 8 a
70
．∫ x ．∫ ．∫ ．∫
2
a 2 − x 2 dx
x ＝8 (2 x
x ＝8 (2 x
2
+ a2 ) x2 + a2 −
a4 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 8
43
x2 + a2 dx x x2 + a2 dx x2
＝ ＝−
x 2 + a 2 + a ln
x2 + a2 − a +C x
44
x2 + a2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C x
常 用 积 分 公 式
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 ) dx 1 1． ∫ ＝ ln ax + b + C ax + b a
2
． ∫ (ax + b) dx ＝ a( µ1+ 1) (ax + b)
µ
2
µ +1
+C
（ µ ≠ −1 ）
3
． ∫ axx+ bdx ＝ a1 (ax + b − b ln ax + b ) + C
36
(x + a ) dx x x2 + a2 dx
2
2 3
＝−
37
1 ＝a ln
x2 + a2 − a +C x
38
x2 x2 + a2
x 2 + a 2 dx
2 2 3
＝
x2 + a2 − +C a2 x
x2 + a2 +
2
39
x ＝2
a2 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2
2 2
30
2
x dx + bx + c
＝ 21a ln ax
2
+ bx + c −
b dx 2 ∫ 2a ax + bx + c
（六）含有
31
x 2 + a 2 ( a > 0)
的积分
1
dx
x +a
2 2
x ＝ arsh a + C ＝ ln( x +
x2 + a2 ) + C
32
dx (x + a ) x x +a x ( x 2 + a 2 )3
2 2
6
7
x 1 b ． ∫ (ax + dx ＝ (ln ax + b + )+C b) a ax + b
2 2
8
． ∫ (axx+ b) dx ＝ a1 (ax + b − 2b ln ax + b − axb+ b ) + C
2 2 2 3
9
1 1 ax + b ． ∫ x(axdx ＝ − ln +C + b) b( ax + b) b x
7
84
． ∫ cos xdx ＝ sin x + C 85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C 86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
87
x ． ∫ sec xdx ＝ ln tan( π + ) + C ＝ ln sec x + tan x + C 4 2 x ． ∫ csc xdx ＝ ln tan 2 + C ＝ ln csc x − cot x + C
ax + b dx x ax + b dx x2
2
ax + b a dx + ∫ x 2 x ax + b
（三）含有 x dx 19． ∫ x +a
2
± a2
=
的积分
2
1 x arctan + C a a
20
． ∫ (x
2
2
dx x 2n − 3 dx = + 2 n 2 2 2 n −1 2 ∫ 2 + a ) 2( n − 1)a ( x + a ) 2( n − 1)a ( x + a 2 ) n −1
1 ． ∫ axx+ bdx ＝ a1 (ax + b) 2
2
4
2
3

− 2b(ax + b) + b 2 ln ax + b + C
5
dx 1 ax + b ． ∫ x(ax ＝ − ln +C + b) b x dx 1 a ax + b ． ∫ x (ax ＝ − + ln +C + b) bx b x
2 2 2 2 3
＝ ＝
x a
2
x2 + a2
+C
33
dx
x2 + a2 + C
1 x2 + a2
34
dx
＝−
+C
3
35
．∫ ．∫ ．∫ ．∫ ．∫
x2 x2 + a2 x2
dx
x ＝2 dx
x2 + a2 − x x +a
2 2
a2 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C
x (x − a ) x2 x2 − a2 x2 (x − a ) dx x x2 − a2 dx x2 x2 − a2 x 2 − a 2 dx
2 2 3 2 2 3 2 2 3
dx
＝−
1 x − a2
2
+C
49
dx
x ＝2 dx
x2 − a2 + x x −a
2 2
a2 ln x + x 2 − a 2 + C 2 + ln x + x 2 − a 2 + C
81
dx ( x − a )(b − x )
＝ 2 arcsin
82
( x − a )(b − x )dx
＝ 2 x −4a − b
( x − a )(b − x ) +
(b − a ) 2 x−a arcsin +C 4 b− x
( a < b)
（十一） 十一）含有三角函数的积分 83． ∫ sin xdx ＝ − cos x + C
dx
+C
63
dx
＝
x 2 a2 x 2 − a − x + arcsin + C 2 2 a x a −x
2 2
64
dx
＝
− arcsin
x +C a
65
1 a− ＝a ln
a2 − x2 +C x
66
＝−
x ＝2
a2 − x2 +C a2 x
a2 − x2 +
2
67
a2 x arcsin + C 2 a
2
2
− a2 ) a2 − x2 +
a4 x arcsin + C 8 a
71
a2 − x2 dx x a2 − x2 dx x2
＝ ＝−
a − a2 − x2 a − x + a ln +C x
2
72
a2 − x2 x − arcsin + C x a
（九）含有
73
2
± ax 2 + bx + c ( a > 0)
2 2
（二）含有 ax + b 的积分 10． ∫ ax + bdx ＝ 32a (ax + b) + C 11． ∫ x ax + bdx ＝ 152a (3ax − 2b) (ax + b) + C 2 12． ∫ x ax + bdx ＝ 105 (15a x − 12abx + 8b ) a
dx ax + b
＝
1 ln b
ax + b − b + C (b > 0) ax + b + b (b < 0)
2 ax + b arctan +C −b −b ax + b a dx − ∫ bx 2b x ax + b ax + b + b ∫ dx x ax + b
2
dx ax + b
＝− ＝2 ＝−
＝
x 2 − a 2 − a arccos
a +C x
58
＝−
x2 − a2 + ln x + x 2 − a 2 + C x
（八）含有
59
a 2 − x 2 ( a > 0)
的积分
dx a −x dx
2 2
x ＝ arcsin a +C
60
( a 2 − x 2 )3
＝
x a2 a2 − x2
+C
dx
的积分
ax + bx + c
＝
1 ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c + C a
6
74
．∫
ax 2 + bx + cdx
+b ＝ 2ax 4a + 8 a
3
ax 2 + bx + c ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c + C
4ac − b 2
（七）含有
45
x 2 − a 2 ( a > 0)
的积分
1
dx x −a
2 2
x x ＝x arch + C = ln x + a
x2 − a2 + C
46
dx ( x 2 − a 2 )3 x x −a
2 2
＝− ＝
x a2 x2 − a2
+C
47
dx
x2 − a2 + C
4
48
．∫ ．∫ ．∫ ．∫ ．∫ ．∫
x ． ∫ ( x + a ) dx ＝ 8 (2 x + 5a ) x 1 41． ∫ x x + a dx ＝ (x + a ) + C 3
40
2 2 2 2 3
3 + a 2 + a 4 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 8
42
．∫ x ．∫ ．∫ ．∫ ．∫ ．∫
2
x 2 + a 2 dx
2 2 2
27
．∫
dx 3 x (ax 2 + b)
＝
ax 2 + b a 1 ln − +C 2 2 2b x 2bx 2
28
x x 1 dx ． ∫ (ax d+ ＝ + ∫ b) 2b(ax + b) 2b ax + b
2 2 2 2 2
（五）含有 ax
29
+ bx + c ( a > 0)
的积分
=
21
． ∫ x d−xa
2
1 x−a ln +C 2a x + a + b(a > 0)
（四）含有 ax
22
2
的积分
a x+C b
．
dx ∫ ax 2 + b
＝
1 arctan ab 1 ln 2 − ab
2
(b > 0)
a x − −b + C (b < 0) a x + −b
23
． ∫ ax x+ bdx ＝ 21a ln ax
2
+b +C
2
24
．
x2 ∫ ax 2 + bdx
x b dx ＝a − ∫ a ax + b
2
25
．∫
dx x (ax 2 + b)
＝
1 x2 +C ln 2b ax 2 + b
26
dx 1 a dx ． ∫ x (ax ＝ − − ∫ + b) bx b ax + b
3 3 2 2 2 2 2 3
(ax + b)3 + C