数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题
第一章 绪论 一. 填空题 1.*
x
为精确值
x 的近似值；()
**x f y =为一元函数
()x f y =1的近似值；
()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：
***
r x x
e x -=
()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()
()
()'***1**r r x f x y x f x εε≈
⋅
()()()()
()*
*,**,*2**f x y f x y y x y x y
εεε∂∂≈⋅+⋅∂∂
()()()()()
**
*
*,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈
⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有
6 位和 7
1.73≈（三位有效数字）-21
1.73 10 2
≤⨯。

4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、 已知近似值 2.4560
A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .
7、 递推公式,⎧⎪⎨
⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,
如果取
0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差
为
81
10 2
⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*
=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位
和 4 位有效数字。

9、 若*
2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n
11、近似值*
0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()
23
346
10111y x x x =+
+---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
11,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改
写为
199920012
+。

14、改变函数f x x x ()=
+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确
()x x x f ++=
11。

15、设
，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.
16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是 4 。

二、单项选择题：
1、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7 3、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型
B ． 观测
C ． 截断
D ． 舍入
4、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 6、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 7
1732.≈
计算4
1)x =，下列方法中哪种最好？（ C ）
(A)28-
(B)2
4(-； (C
) ；
(D) 。

三、计算题
1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.
解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()()
()()()
=V V V V L W H L W H
WH L HL W LW H ∂∂∂∆≈
∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()
r V V V
∆∆=
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤
故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()
()()3
25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50
1.1*1025000
r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤= 2.已知测量某长方形场地的长
a=110
米,宽
b=80
米.若
()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米
试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab
当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()
()()
=b s s
s a b a b
a a
b ∂∂∆≈
∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()
r s s s
∆∆=
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足
()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤
故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()() 80*0.1110*0.119.019.0
0.0021598800
r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=
≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差
'1**1**
**(),(),()()()
0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x n n n
x x
εε
εε--===-≈--=≈==解：由于故
故
4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？ 解：令()343
V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得
()()()()()()'23431%
43
R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤⋅=⋅=≤
从而得()1
300
R R ε≤
5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2
解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。

6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。

试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：h r V 2π=
)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
V
V V -*=2r r r -*=0.0002
第二章 插值法 一、填空题：
1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则
()()4
4
2i
i i x
l x =+∑＝(x 4+2).
2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则
()()5
5430
21i
i i i i x
x x l x =+++∑=54321x x x +++
3.已知
]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==
+=f f x x f 则，
4.2f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。

5.
设
则
＝
3,
=0
6.设
和节点
则
= 4.
7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函数:
i x
0.2 0.3 0.4 ()i f x
0.04
0.09
0.16
则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。

9、2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为
-2 ，拉格朗日插值多项式为()()()()()()()211
232131222
L x x x x x x x =------+--,或2
298x x -+-
10、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
11、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 12、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l ()2x x --，)(x f 的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=x x x x N 。

13、
)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
()0n
k
k l x =∑= 1 ，()
n
k j
k
k x l x =∑=
j
x ，，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。

14、设一阶差商 ，
则二阶差商
15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式
16、若
4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

二、单项选择题：
1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。

A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2
2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(D) )
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
3、有下列数表 x
0.5
1
1.5
2
2.
5
f(x )
-2 -1.75 -1 0.25 2
4.
25
所确定的插值多项式的次数是（ A ）。

（A ）二次； （B ）三次； （C ）四次； （D ）五次
4、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）
i x １ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5 ()i f x
-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
(A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。

5、设
()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则
9
()i
k kl k ==
∑( C )
(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。

6、由下列数据
x0 1 2 3 4
f x 1 2 4 3 -5
()
确定的唯一插值多项式的次数为( A )
(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3。

三、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？
答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，
2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？
答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是
它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。

是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。

3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为
，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一
个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为 后面相因子
改为
即可得到Hermite 插值余项。

四、计算题
1、设()7351f x x x =++,求差商
0101201
701
82,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎣
⎦
解：012
27,2169,216705f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故 0112012
2,2162,2,28268,2,2,22702f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦
根据差商的性质，得
()
()()
()7017801
82,2,,21
7!
2,2,,20
8!
f f f
f ξξ⎡⎤==⎣
⎦⎡⎤=
=⎣⎦
2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: '
:1
2
2311
i i
i x y y -
解：根据已知条件可求得
()()()()()()()()()()()()
22
012
2
01212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--
代入埃尔米特三次插值多项式公式
()()()()()
()()()()()()()()
00'
'30011012222
=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----
3、如有下列表函数:
i x
0 1 2 3 4 ()i f x
3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：
i x
i f
i f ∆
2i f ∆
3i f ∆
4i f ∆
0 3 1 6 3 2 11 5 1 3 18 7 1 0 4 27
9
1
N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2+2x+3,0≤x ≤1 4、给出x ln 的函数表如下：
x
0.40 0.50 0.60 0.70 x
ln
－0.916291
－0.693147
－0.510826
－0.356675
试用线性插值和抛物插值求54.0ln 的近似值。

5．已知
x
-1
1
2
请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。

01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()
()()
()
()()()()
()()()
()()
(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=⨯+⨯
----+++-解：记则所以(1)(1)
(21)(21)111
(1)(2)(1)(2)(1)(1)223
x x x x x x x x +-⨯
+-=---+--+-
6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。

解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出
()()222321L x N x x x ==-+
设待插值函数为：
()()()()()32012H x N x k x x x =+---
根据
()()'3113, H f ==’
得参数1, k =则
()33 1.
H x x =+
插值余项为： 7、 已知
()()()()()()()
42
33124!
f R x f x H x x x x ξ=-=--
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(41
)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f
8、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最
靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈， 且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -⨯≤----≤
-
9、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式
)(2x P ,并估计误差。

解：
)15.0)(05.0()
1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----⨯
+----⨯
=--x x e x x e x P
)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)
5.01)(01()
5.0)(0(15.01-+----=----⨯
+---x x e x x e x x x x e
又
1
|)(|max ,)(,)(]
1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x
故截断误差
|)1)(5.0(|!31
|)(||)(|22--≤
-=-x x x x P e x R x 。

10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯
--+-+⨯+------⨯
=x x x x x x x L
)1)(1(34
)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=
x x x x x x
04167
.0241
)5.1()5.1(2≈=≈L f
11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton 插值方法：差分表：
≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
()2
5
83'''-
=x x f
()()()()00163.029*******
3
61144115121115100115!
3'''25
≈⨯⨯⨯≤---=
-ξf R
12、(10分)已知下列函数表：
(1)写出相应的三次Lagrange 插值多项式；
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。

解：（1）
3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x L x ------------=
+++
------------ 3248
21
33x x x =
-++ （2）均差表：011329327 2618 26 4
3
34
1221123()()()()N x x x x x x x =++-
+
--
315155(.)(.)f N ≈=
13、 已知y=f （x ）的数据如下
f（x） 1 3 2
求二次插值多项式及f（2.5）
解：
14、设
（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足
H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式
解（1）
（2）
第四章数值积分
一、填空题
x，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为
1、求 212dx
2.333 。

2．n次插值型求积公式至少具有n 次代数精度，如果n为偶数，则有n+1 次代数精度。

3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。

4.插值型求积公式
()()0
n
b
k k a
k A f x f x =≈∑⎰的求积系数之和 b-a 。

5、 计算积分⎰1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用
辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
⎰5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。

7、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

8、若用复化梯形公式计算
⎰10
dx
e x ，要求误差不超过6
10
-，利用余项公式估计，至少用
477个求积节点。

9、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++⎰的代数精度为
2 。

10、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
⎰≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25
10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，
有
11、
对于n+1个节点的插值求积公式
至少具有n 次代数精度.
二、单项选择题：
1、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。

1011
0101
0010
101)()()
D ()()()
C ()()()
B ()()()
A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+----
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
⎰∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数)
(n i C 是负值时，
公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（A ）8≥n ， （B ）7≥n ， （C ）10≥n ， （D ）6≥n ， 三、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？
答：一个求积公式如果当
为任意m 次多项式时，求积公式精
确成立，而当
为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m 次代数精
确度。

根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的
m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。

四、计算题
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

令
代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。

（2）
（3）
解：令
代入公式精确成立，得
解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。

2.求积公式
1
'0100
()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f ≈++⎰
，已知其余项表达式为
'''()(),(0,1)R f kf ξξ=∈，试确定系数010,,A A B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并
给出代数精度的次数及求积公式余项。

'20102
010*******
321110
36
1
'211336
1
3
3140
(0),,()1,,,()1,1(),,,(),()(0)(1)(0)
(),f A A B f x x x f x A A A f x x A B A f x x A B f x dx f f f f x x x dx ==+==⎧⎧⎪⎪
=+==⎨⎨⎪⎪===
⎩⎩=
+
+
==⎰
⎰解：本题虽然用到了的值，仍用代数精度定义确定参数。

令分别代入求积公式，令公式两端相等，则得求得则有
再令此时，而上式13
,2=
右端两端不相等，故
它的代数精度为次。

31
''''2
113
3
6
3'2'''''1
31114
3
72
'''172
()()(0)(1)(0)(),(0,1)
()()3,()6,()6,6,,
()(),(0,1)
f x x f x dx f f f kf f x x f x x f x x f x x dx k k R f f ξξξξ==
+
+
+∈=====
=
+=-
=-
∈⎰
⎰
为求余项可将代入求积公式
当，代入上式得
即所以余项7.3、根据下面给出的函数sin ()x
f x x
=的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算1
0sin x
I dx
=
⎰
解 用复合梯形公式,这里n=8,0.1258
h =
=, ()1
sin 0.125
{(0)2[(0.125)(0.25)2
(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)]1}0.94569086
x dx f f f x f f f f f f ≈++++++++=⎰
用复合辛甫生公式: 这里n=4,1
0.254
h ==.可得
1
sin 0.25
{(0)4[(0.125)(0.375)6
x dx f f f x ≈++⎰
(0.625)(0.875)]2[(0.25)
(0.5)(0.75)](1)}0.946083305
f f f f f f ++++++=
4、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量
高,并求其代数精度；利用此公式求
⎰
=2
1
1
dx
x I (保留四位小数)。

答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=⎰-
当3
)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31。

所以代数精度为3。

69286.0140
97
]
3
211
32/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t
5、n =3,用复合梯形公式求
x
x
d e 10⎰的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：
7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210
310
≈+++⨯-=
≈⎰T x x
x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f
05.0025.0108e
312e |e |||2
3≤==⨯≤
-= T R x
至少有两位有效数字。

6、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx
e
x
⎰
-1
时，试用余项
估计其误差。

用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

解：
001302.07681
81121)(12][022==⨯⨯≤''--
=e f h a b f R T η
]
)()(2)([2)8(7
1∑=++=k k b f x f a f h
T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16
1
++++++⨯+=
6329434.0=
7、（10分）已知数值积分公式为：
)]
()0([)]()0([2)(''20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈⎰
λ，试确定积分公式中的参数λ，使
其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，
]
11[]0[22220
-++==⎰
h h h
h xdx h
λ；
2)(x x f =时，12122]20[]0[2332
230
2
=
⇒-=-++==⎰λλλh h h h h h h dx x h
；
3)(x x f =时，]
30[121
]0[2422340
3
h h h h h dx x h
-++==⎰；
4)(x x f =时，6]40[121]0[2553
2450
4
h h h h h h dx x h
=
-++≠=⎰；
所以，其代数精确度为3。

8、(10分)用复化Simpson 公式计算积分
()⎰
=1
0sin dx
x x I 的近似值，要求误差限为
5105.0-⨯。

()()0.9461458812140611=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
f f f f f S
5-12210933.0151
⨯=-≈
-S S S I 94608693.02=≈S I
或利用余项：()()
-+-+-==!9!7!5!31sin 8
642x x x x x x x f
() -⨯+⨯-=!49!275142)
4(x x x f
()51)4(≤
x f ()()5
4)
4(4
5
10
5.05288012880-⨯≤⨯≤
-=
n f
n a b R
η，2≥n ， =≈2S I
9、（9分）数值求积公式⎰
+≈30
)]
2()1([23
)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其
代数精度是多少？
解：是。

因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为
)2(121
)1(212)(f x f x x p ⨯--+⨯--=
⎰+=3
0)]2()1([23
)(f f dx x p 。

其代数精度为1。

10、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
2
201
12+⎰dx x 的近似值（保留4位小数）。

解：5个点对应的函数值
2112()f x x =
+
----------------------------------------------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：
405
1206666670333333018181801111112.[(...).]T =
+⨯+++ 0868687.=
(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：
21
14066666701818182033333301111116[(..)..]
S =+⨯++⨯+ 0861953.=
11、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
()()121101
f A f A dx x xf +⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰
取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：
2110=
+A A ，312110=
+A A
310=A ，61
1=A
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴公式的代数精度=2
12、证明定积分近似计算的抛物线公式
具有三次代数精度
证明：当=1时，
公式左边：公式右边：左边=右边当=x时
左边：右边：左边=右边
当时
左边：右边：左边=右边当时
左边：右边：左边=右边
当时左边：
右边：
故具有三次代数精度
13、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？解，该数值求积公式具有5次代数精确度，
第五章常微分方程
一、填空题
1、求解一阶常微分方程初值问题y'= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
+
=
+
+
+
+
)]
,
(
)
,
(
[
2
)
,
(
]0[
1
1
1
]0[
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
f
y
x
f
h
y
y
y
x
hf
y
y。

2、解初值问题00
(,)
()
y f x y
y x y
'=
⎧
⎨
=
⎩的改进欧拉法⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
+
=
+
+
+
+
)]
,
(
)
,
(
[
2
)
,
(
]0[
1
1
1
]0[
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
f
y
x
f
h
y
y
y
x
hf
y
y
是
2 阶方法。

3、解初始值问题近似解的梯形公式是
4、解常微分方程初值问题的梯形格式
是二阶方法
二、计算题
1.用改进欧拉方法计算初值问题1
)0(y
x
dx
dy
2
<
<
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
x
y
x
，取步长h=0.1计算到y5。

解：改进的欧拉公式⎪
⎩
⎪⎨⎧+
+=+=+
+++)]
,(),([2y y )
,(1~111~
n n n n n n n n n n y x f y x f h
y x hf y y 代入有且,nh x ,),(n 2
=-+=y x x y x f
)4,3,2,1,.0n (0.11)
1.9y -
2.1x (1.9x 05.0y )]
y x x (h y x x y x x [2
y y n n 2n n n n 2
n n 1n 21n n n 2n 1=++⨯+=-+--++-++=+++h n n n n x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.14500
2. 用梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与
准确解
相比较
解：用梯形法求解公式，得
解得
精确解为
3．用改进的Euler 法解初值问题()',0101,
y x y x y =+<<=⎧⎨⎩ ；取步长h=0.1计算()0.5y ，并
与精确解12x
y x e =--+相比较。

(计算结果保留到小数点后4位)
解：改进的尤拉公式为：
()()1111,,,2n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y -
+-+++=+=++⎧⎪
⎨⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎩
代入(),f x y x y =+和n x nh =，有
()()[]
()1222
222
22 2222n n n
n
n h y y h x h y
h h h h h y nh nh +=+
++++++=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入数据，计算结果如下：
4.设初值问题()'2100,00y x y y =+=，
a) 由Euler 方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler 方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。

解：a ）根据Euler 公式：()1,n n n n y y hf x y +=+
()2
1100n n n n y y hf x y +=++
21110.001n n y y n +=+ 3分
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩ 5
分
()
()(
)(
)
()22
111222
12
21001002 =1001001002
=1200120.20.012
=610.0060.0010.0005 n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y x y x y h y x y x y h x y h y y x x y n n ++++=+
++++++++++++++++
5.设初值问题'y 0y(0)1
x y
x ⎧=->⎨
=⎩，
a) 写出由Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。

解：a ）根据Euler 公式：
()1,n n n n y y hf x y +=+
10.1()0.90.1n n n n n n y y n x y y x +=+-=-
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++⎧=+⎪
⎨=+
+⎪⎩
()
()()
()
()1111222
2 =2 =2222 =222
=0.9050.0950.005n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h
y y x y x y h
y x y x y h x y h
y x y x h y hx hy h h h h h y x y x ++++=+
-+-+-+-+-+-++--+-+-++
++
6、用欧拉方法求
⎰-=x t t
x y 0
d e
)(2
在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。

解：
⎰-=x t t
x y 0
d e )(2
等价于
⎪⎩⎪⎨⎧=='-0)0(e 2
y y x (0>x )
记2
e ),(x y x
f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210
=====x x x x x . 则由欧拉公式
⎩⎨
⎧=+=+0),(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n
可得 88940.0)0.1(,
5.0)5.0(21≈==≈y y y y ,
12604.1)0.2(,
07334.1)5.1(43≈==≈y y y y
7、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题
⎩⎨
⎧=+='1)0(32y y x y )10(≤≤x
答案：解：
⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)
32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y
即 04.078.152.01++=+n n n y x y
8、(10分) 求参数,a b ，使得计算初值问题00(,)
()()dy
f x y c x d dx
y x y ⎧=⎪≤≤⎨⎪
=⎩的二步数值方法
111[(,)(,)]n n n n n n y y h af x y bf x y +--=++
的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。

解：23
4123()()()()()()
!!n n n n n h h y x y x hy x y x y x O h +''''''=++++
11()(()())n n n n y y x h ay x by x +-''=++
2
42()()(()()()())
!n n n n n h y x ahy x bh y x hy x y x O h '''''''=++-++ 3242()()()()()())
n n n n bh
y x a b hy x bh y x hy x O h ''''''=++-++
所以当11
2a b b +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，即3122,a b ==-时， 局部截断误差为3
43112()()()()
n n n bh y y x y x O h O h ++'''-=+=
局部截断误差的主项为3
114()()
n n n h y y x y x ++'''-=-，该方法为二阶方法。

9、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题()'10 1
y y y ⎧=-+⎪
⎨=⎪⎩用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；
解：改进的欧拉法：⎪⎩⎪
⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()
0(111)
0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y
所以1)1.0(1==y y ；
10、（10分）对于一阶微分方程初值问题()'
20 1
y x y
y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，取步长02.h =，用Euler 预报－
校正法求02(.)y 的近似值。

解：Euler 预报－校正法
01011110220408012201602082()()
.()...()...n
n n n n n n n n n n n n n n y y x y x y y y x y x y x x y +++++⎧=+-=+⎨=+-+-=++⎩10202020821086(.)....y y ≈=⨯+⨯=
11、（10分）用二步法1112[(,)(,)]
n n n n n n h
y y f x y f x y αβ+--=++求解一阶常微分方程初值问题00
(,)
()y f x y y x y '=⎧⎨
=⎩，问：如何选择参数,αβ的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。

解：局部截断误差为
11112()()[(,())(,())]
n n n n n n n h
T y x y x f x y x f x y x αβ++--=--+ 2341232()()()()()()[()()]
!!n n n n n n n h h h
y x hy x y x y x O h y x y x y x αβ-''''''''=++++--+ 23423232
22()()()()()()()
!![()()()()]!n n n n n n n n n h h h
y x hy x y x y x O h y x y x h h y x hy x y x O h αβ'''''''=++++--''''''--++
233
41122234()()()()()()()
!!n n n h h h
h y x y x y x O h αβββ''''''=--+++-+ 因此有10
2210
αββ⎧--=⎪⎨⎪+=⎩31αβ=⎧⇒⎨
=-⎩ 局部截断误差主项为3
512()
n h y x '''，该方法是2阶的。

12、(10分)取步长02.h =，求解初值问题83002()()dy
y
x dx
y ⎧=-⎪≥⎨⎪
=⎩，用欧拉预报—校正法
求
02(.)y 的近似值。

解：（1）欧拉预报-校正法：
011028316040183831604112058().()...((..))..n
n n n n n n n n y y y y y y y y y ++⎧=+-=+⎨
=+-+-+=+⎩
102228(.).y y ≈=
13、(8分)已知常微分方程的初值问题：
⎩⎨
⎧=≤≤=2)1(2.11,y x y x dx dy
用改进的Euler 方法计算y (.)12
的近似值，取步长2.0=h 。

()5.0,001==y x f k ，()()0.52380955.02.021.1,1012=⨯+=+=hk y x f k ()()1071429.25238095.05.01.0222101=+⨯+=++
=k k h
y y
第六章 方程求根 一、填空题
1、已知方程 1.5x 08.0x x 02
3==--在附近有一个根，构造如下两个迭代公式：
233k 1k k 1k
(1)x 0.8x (2)x -0.8x ++=+=+
则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。

2、设
()f x 可微，求方程()x f x =的根的牛顿迭代格式为
()
()
1'1k k k k k x f x x x f x +-=-
- 。

3、
()()2
5x x a x ϕ=+-,要是迭代法
()1k k x x φ+=局部收敛到
*5x =，则a 的取值范围是05
a -<<
4、迭代法的收敛条件是（1）
（2）()'
1a x b
MAX x L φ≤≤≤<。

5.写出立方根3
13的牛顿迭代公式312
133k k k k
x x x x +-=- 6．用二分法求解方程3
()10f x x x =--=在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。

7、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是
)(1)
(1n n n n n x f x f x x x '---
=+ ；
8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 1
2+-n a b 。

9． 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为
0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

10、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

11、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分10 次。

12、求方程 的近似根，用迭代公式
，取初始值
， 那么
1.5
13、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛 14、 迭代过程
（k=1,2,…）收敛的充要条件是
< 1
二、单项选择题：
1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=ϕ(x)，则f(x)=0的根是( B )。

(A) y=ϕ(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=ϕ(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=ϕ(x)的交点
2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

)()()D (0)()()C (0)()()B (0)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f
3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应
的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)
1
1:,1
1
12-=-=
+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
4、计算3的Newton 迭代格式为( B )
(A)
132k k k x x x +=
+；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。

5、用二分法求方程32
4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为
3
1102
ε-=⨯，
则对分次数至少为( A )
(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。

6、已知方程3250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在0
2x =不收敛的是
( C )
(A)3125k k x x +=+； (B)152k k x x +=+； (C )315k k k x x x +=--； (D)3
1225
32k k k x x x ++=-。

三、问答题
1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程
改写为
若
使
则称点
为不动点而
就
是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的满足条件
（1）
（2）()'
1a x b
MAX x L φ≤≤≤<
若已知，且 时也收敛，称为局部收敛。

2.对于迭代法初始近似
，当
时为什么还不能断定迭代
法收敛？
答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间
上证明
且
才能说明由
出是迭代法
收敛
如果用局部收敛定理 6.2，则要知道不动点为
才可由
证明其收敛性，由
还不能说明迭代法收敛。

3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P 阶收敛需要什么条件？ 答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P 的大小，若序列
收敛于
，记为
若存在
及，使则称序列
为P 阶收敛，P 越大收敛越快，当P ＝1，则越小，收敛越快。

一个迭代公式若为
的不动点，P 为大于1的整数，在
连续，且
而
则此迭代公式为P 阶收敛。

4.方程求根的Newton 法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几
阶收敛？ 答：用曲线
在点
上的切线的零点近似曲线零点得到
就是Newton 法，在单根附近2阶收敛，当
为重根时是线性收敛。

5、简述二分法的优缺点
答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x ) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。

缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢
6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。

牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。

)
()
(1k k k k x f x f x x '-
=+x
y o ()
)(,
k k x f x x
)
(x f y =k
x 1+k x
四、计算题
1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解使用二分法先要确定有根区间。

本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。

另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。

用二分法计算各次迭代值如表。

其误差
2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
(1) ，迭代公式.
(2) ,迭代公式.
(3)，迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。

（2），在中，且，在中
有，故迭代收敛。

（3），在附近，故迭代法发散。

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。

用（2）迭代，取，则
3. 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.
解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。

迭代函数，。

令，则
，由递推有
，即
4. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
(1)在=2附近的根.
(2)在=1附近的根.
解：（1）
Newton迭代法
取，则，取
（2）
令，则，取
5. 应用Newton
法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.
解：方程
的根为
，用Newton 迭代法
此公式迭代函数，则，故
迭代法2阶收敛。

6.用牛顿法求方程10x
xe -
=的根，00.5x =，计算结果准确到四位有效数字。

解：根据牛顿法得
取,迭代结果如下表
所以，方程的根约为0.56714
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110||-+<-n n x x 。

答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为
)e 2(101
x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
ϕ，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ϕ
11k
x k k k k
x e x x x -+-=-
+
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。

取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
8、用牛顿(切线)法求3的近似值。

取x 0=1.7, 计算123 , , x x x 的值，保留五位小数。

解：3是03)(2
=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为
n n n
n x x x x 23
2
1
--
=+， 即
)
,2,1,0(2321 =+=+n x x x n n n
取x 0=1.7, 列表如下：
9、（15分）方程013
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）
31+=x x 对应迭代格式31
1+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111
+=+；（3）
13-=x x 对应迭代格式13
1-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计
算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

解：（1）32
1(31
)(-+='）x x ϕ，
118.05.1<='）（ϕ，故收敛； （2）
x x x 1
121)(2+
-
='ϕ，117.05.1<='）（
ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，
15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5.10
=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，
32476.15=x ，32472.16=x
10、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

解：：
()()[]n n n x x x cos 141
1+=
=+φ，n=0,1,2,…
()()141
sin 41'<≤=
x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。

11、 设
（1） 写出解
的Newton 迭代格式
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 证明：（1）因
，故
，由Newton 迭代公式：
n=0,1,…
得 ，n=0,1,…
（2）因迭代函数 ，而 ，
又 ，则
故此迭代格式是线性收敛的。

第七章 线性方程组的直接解法 一、填空题
1.
1451A -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
, 则= 6 , A 的谱半径()12
5A ρ
=+.
2.设x=（11 0 5 1）T ，则
1x = 17 ，∞
x
= 11 ，
2147x =.
3.设计算A 的行范数 ，列范数 ，F-范数 ，2范
数 .
解：。