高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解34---曲线是否过定点可推可算可检验

C：
x2 4
+
y2
= 1的右准线
l
上任意一点
M
引椭圆
C
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的两条切线，切点为 A、B． （1）求证：直线 AB 恒过一定点； （2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求△ABM 的面积．
◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直
接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程．
− 2) =4
消
y
整理得
(1 +
4k22 )x2
−16k2 x
+ 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk22
−
4
=
0
，得到
2 x2
=
16k22 − 4 1+ 4k22
，即
x2
=
8k22 − 2 1+ 4k22
，
y2
=
−4k2 1+ 4k22
很快．不过如果看到：将 −2x1
=
16k12 − 4 1+ 4k12
中的 k1用k2
换下来，
此模型解题步骤：
Step1：设 AB 直线 y = kx + m ，联立曲线方程得根与系数关系， ∆ 求出参数范围；
Step2：由 AP 与 BP 关系（如 kAP • kBP = −1 ），得一次函数 k = f (m)或者m = f (k) ；
Step3：将 k = f (m)或者m = f (k) 代入 y = kx + m ，得 y = k(x − x定 ) + y定 ．
做相互垂直的直线交圆锥曲线于
AB，则
AB
必过定点
(
x0 (a a2
2 −b + b2
2
)
,
y0 (a a2
2 −b + b2
2
)
)
．（参考
百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 kAP • kBP = 定值，kAP + kBP = 定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒， 固名曰手电筒模型）．
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例 4、已知椭圆 C： x2 + y2 = 1，若直线 l : x = t(t > 2) 与 x 轴交于点 T，点 P 为直线 l 上 4
异于点 T 的任一点，直线 PA1，PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭 圆的焦点？并证明你的结论．
方法 1： 【思路引导】 点 A1、A2 的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA2 的方程，直线 PA1 和椭圆交点是 A1(-2， 0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标．动点 P 在直 线 l : x = t(t > 2) 上，相当于知道了点 P 的横坐标了，由直线 PA1、PA2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t>2，就可以了，否则就不存在．
t
t
3
3
满足 t > 2 ．
◆方法总结：法 2 计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的 一个特例而已．因此，法 2 采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了．相较法 1，未知数 更少，思路更明确．
，由直
线 MN 的方程 y − y1 = y2 − y1 得直线与 x 轴的交点，即横截距 x = x2 y1 − x1 y2 ，将点 M、N
x − x1 x2 − x1
y1 − y2
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的坐标代入，化简易得 x = 4 ，由 4 =
3 解出 t = 4
3 ，到此不要忘了考察 t = 4
3 是否
高考数学压轴题归纳总结及解题方法 专题 34---曲线是否过定点可推可算可检验
【题型综述】 直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概 率考点．此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴．定点 问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量 积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．直线过定 点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系 式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？
例 3、（相交弦过定点）如图，已知直线 L：x = my + 1过椭圆C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
> b > 0) 的
右焦点 F，且交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、B 在直线 G : x = a2 上的射影依次为点 D、E．连
接 AE、BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请
求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由．
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法 2：本题也可以直接得出 AE 和 BD 方程，令 y=0，得与 x 轴交点 M、N，然后两个坐标 相减=0．计算量也不大． ◆方法总结：方法 1 采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法．这 一类题在答题过程中要注意步骤．
例 2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆 x 2 + y 2 = r 2 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程
为 x0 y +
y0 y
=
r
2
”，类比也有结论：“椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0)上一点P(x0 , y0 ) 处的
切线方程为
x0 x a2
+
y0 y b2
= 1”，过椭圆
【典例指引】 例 1、（“手电筒”模型）已知椭圆 C： x2 + y2 = 1若直线 l：y = kx + m 与椭圆 C 相交于
43 A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
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◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P
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方法总结：本题由点 A1(-2，0)的横坐标－2 是方程 (1+ 4k12 )x2 +16k2 x +16k12 − 4 = 0 的一
个根，结合韦达定理，得到点
M
的横纵坐标：
x1
=
2 − 8k12 1+ 4k12
，
y1
=
4k1 1+ 4k12
；其实由
y = k2 x2 + 4
(x y2
x1 前的系数
2
用－2
换下来，就得点
N
的坐标
(
8k22 − 2 1+ 4k22
, −4k2 1+ 4k22
)
，如果在解题时，能看
到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量．本题的关键是看到
点
P
的双重身份：点
P
即在直线
A1M
上也在直线
A2N
上，进而得到
k1 k1
− k2 + k2
=
−
2 t