1.1 矩阵的概念及旋转变换

1 3 ,
2 1矩阵
80 90 60 85 ,
2 2矩阵
2 3 3 2
m 4
2 3矩阵
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
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特殊的矩阵
所有元素均为 0的矩阵, 记为 0 零矩阵：
a11
a12 称为行矩阵（仅有一行），
解：
• Hale Waihona Puke Baidu矿区 • 乙矿区
城市A
城市B
城市C
200 240 160 400 360 820
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练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示 两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关 系。（规定每个人都和自己相识）
点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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练习 1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆 时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵 是 ； 1 3

cos120 sin120
a11 a 称为列矩阵（仅有一列）,用， 12 表示列矩阵.
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矩阵的概念
行向量： [ x y] x 列向量： y
习惯上，我们把平面上的向量（x, y )的坐标 x 写成列向量 的形式. y
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例２：
某公司负责从两个矿区 向三个城市送煤：从甲 矿区向城市 A, B, C送煤的量分别是 200万吨、 240万吨、 160万吨；从乙矿区向 城市A, B, C送煤的量分别是 400万吨、 360万吨、 820万吨。请用矩 阵表示从两矿区向三个 城市送煤的量。
O
y
P’(x’，y’)

r
q
P(x，y) x
思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？
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旋转变换：
cos q sin q 矩阵 通常叫做旋转变换矩阵. sin q cosq 对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角.
问题：
y
O
x
假设大风车的叶片在同一平面内转动，以 旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图。
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2、旋转变换：
已知大风车上一点 P(x，y)，它围绕旋转中 心O逆时针旋转q角到另 外一点P’(x’，y’).
因此，旋转前后叶 片上的点的位置变化可 以看做是一个几何变换.
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练一练
2 x mn 已知A ,B y 3 2 x y 试求x, y, m, n的值。 x y , 若A B , m n
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2 x 3 y mz 1, 3x 2 y 4 z 2
2 3
3 m 2 4
2 3 简记为 3 2
m 4
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矩阵的概念
1 形如 , 3 80 90 60 85 , 2 3 m 3 2 4
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例 2、若△ABC 在矩阵 M 对应的旋转变换作用下得到 △A′B′C′，其中 A（0，0），B（1， 3 ），C（0， 2），A′（0，0）， C′（- 3 ，1），试求矩阵 M 并 求 B′的坐标.
1 M 23 2
3 2 1 2

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例１： 用矩阵表示如图所示的 ABC,
其中A(1,0)，B(0,2),C(2,0).
y
2
B
C
A
0
2
1
x
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练一练
0 1 3 4 现用矩阵M 表示平面中的图形， 0 2 2 0 请问该图形有什么几何 特征？
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数学应用
例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩 形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图 形，并求出其顶点坐标，画出示意图.
变式、将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针 旋转300，其结果又会如何？
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1.矩阵的概念及旋转变换
B 1, 2
/
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练习：
2 1. 将向量 a 绕原点按逆时针方向旋转 得到向 4 1 2 2 3 2 量 b ，则向量 b 的坐标为=______________. 2
2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 所对应的变换矩 3
阵为 ＿＿＿＿＿＿． 1

2 3 2

3 2 1 2

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谈谈这堂课你有 哪些收获？
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1.矩阵的概念及入乘法运算
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到的图形，并画出示意图，其中 A(0,0),B(1, 3 ),C(0,2).
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1.矩阵的概念
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何为矩阵?
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y 3 P(1,3)
1 3
O 1 x
1 简记为 3
这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵
而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素
通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，或 者用( a ij )表示，其中 i, j分别表示元素 a ij 所 在的行与列.
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矩阵的概念
同一横排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的行, 同一竖排中按原来次序排列的一列数 （或字母）叫做矩阵的列．
小结：
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
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4、旋转变换：
cos q sin q 矩阵 通常叫做旋转变换矩阵. sin q cosq 对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角.
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矩阵的相等
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
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例３：
x 3 1 y 已知A ,B , 若A B, 试求x, y, z. 4 2 z 2
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1.矩阵的概念及旋转变换
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某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 80 60 复赛 90 85
甲 乙
80 90 60 85
80 90 简记为 60 85
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点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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求出△ABC 在矩阵
1 2 3 2
3 2 对应的变换作用下得 1 2
sin120 cos120


2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶 R360 ; 单位矩阵，则该旋转变换是
1 0 0 1
2 3 2

2 1 2


cos sin
sin cos

360
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