高考数学试题卷(附答案)

高考数学试题卷（附答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，集合{
}
2
230P x x x =∈--≤N 和{}21,Q x x k k ==-∈Z ，则集合(
)U
P Q ⋂的
元素个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4．
2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是()2,1-，则
2
1
z z +=+（ ） A ．15i 22- B ．15i 22+ C ．53i 22- D ．53i 22
+
3．如图所示，在三棱台'''A B C ABC -中，沿平面'A BC 截去三棱锥'A ABC -，则剩余的部分是（ ）
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．三棱柱
D ．组合体
4．已知cos 21sin cos 3ααα=+则3πsin 4α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
B ．
13
C
D ．13
-
5．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆2
2:12
x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积12
-，则2222
1121x y x y -+-=（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
2
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 分别是单位圆上的四段弧，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若sin cos tan ααα<<，则点P 所在的圆弧是（ ）
A ．AB
B ．CD
C ．CD
D ．GH
7．如图，对于曲线Γ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线Γ上的任意两个不同的点A ，B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线Γ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”
为曲线Γ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线1
21,0,
:41,0,
x xe x C y x x x -⎧+≥⎪=⎨++<⎪⎩（其中 2.71828
e =是自然对
数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 8．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，D ，其中()60n Ω=，()30n A =，()10n B =，
()20n C =，()30n D =，()40n A B ⋃=，()10n A B ⋂=，()60n A D ⋃=，则（ ）
A ．A 与
B 不互斥 B ．A 与D 互斥但不对立
C ．C 与
D 互斥
D ．A 与C 相互独立
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知D 是ABC △的边BC 上的一点（不包含顶点），且AD AB AC x y =+，其中,x y ∈R ，则（ ） A ．1x y +=
B ．21x y +=
C
2≥
D ．22log log 2x y +≤-
10．已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()0,+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点
C ．曲线()f x 在1
1,22f ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
点处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是奇函数
11．已知曲线2
:16y x Γ=，直线l 过点()4,0F 交Γ于A ，B 两点，下列命题正确的有（ ） A ．若A 点横坐标为8，则24AB = B ．若()2,3P ，则AP AF +的最小值为6
C ．原点O 在AB
上的投影的轨迹与直线60x +-=有且只有一个公共点 D ．若2AF FB =，则以线段AB 为直径的圆的面积是81π
12．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A 、B 、C 、D ，其面积记为A S ，B S ，
C S ，
D S ，则下列结论正确的有（ ）
A ．A D
B
C S S S S +=+ B ．A
D B C S S S S ⋅=⋅ C ．2A D B S S S +≥
D ．2A D C S S S +<
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13
．6
x ⎛
- ⎝
的展开式中的常数项为______．
（用数字作答） 14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，120ABC ∠=︒，棱长均为4，AB ，1CC 的中点分别
为P 、Q ，则三棱锥11P A D Q -的体积为______．
15．设(),0,,013, 1.x x
e x
f x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩
若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则
()()()112233x f x x f x x f x ++的取值范围是______．
16．已知双曲线22
:
26
x y C λ-=
过点，则其方程为______；设1F ，2F 分别为双曲线C 的左右焦点，D 为右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为
12AF F △，12BF F △的内心，则MD ND -的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）设ABC △内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知
sin sin sin sin c C b B
C A a a
-=-，4b =．
（1）求角B 的大小
（2）若3
c =
，求ABC △的面积． 18．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a -=+，()2,n n ≥∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；
（Ⅱ）若()()121n n n b n a a +=+-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．
19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧面P AB 是等边三角形，
2BC AB =，60ABC ∠=︒，PB AC ⊥．
（Ⅰ）求证：面PAB ⊥面ABCD ；
（Ⅱ）设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF 是过B ，Q 两点的截面，且AC ∥平面BEQF ，是否存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面P AD ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，说明理由．
20．（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（Ⅱ）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中团体赛获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断()D ξ与()D η的大小关系．（结论不要求证明）
21．（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y a b a b
Γ+=>>，A 、F 分别为Γ的左顶点和右焦点，O 为坐标
原点，以OA 为直径的圆与Γ交于M 点（第二象限），2
a
OM =．
（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率e ；
（Ⅱ）若2b =，直线l AM ∥，l 交Γ于P 、Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ． （ⅰ）若l 过F ，求12k k ⋅的值；
（ⅱ）若l 不过原点，求OPQ S △的最大值．
22．（本题满分12分）已知函数()x
f x e kx k =--，k ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1k =时，令()()2
2f x g x x =
（ⅰ）证明：当0x >时，()1g x >； （ⅱ）若数列{}n x 满足：113x =
，()1n x
n e g x +=，证明：1ln 12n n x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭
．
参考答案
一、选择题
13．240；
14．
15．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
16．22
1412x y -=，33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
12．
解：设123α∠=∠=∠=，最大正方形边长为1，小正方形A 、B 、C 、D 的边长分别为a ，b ，c ，d
则2
cos
a α=，cos sin
b αα=，sin cos
c αα=，2sin
d α=
所以4422
sin cos 2sin cos 22A D B C S S S S αααα+=+≥==，故C 正确
44sin cos A D B C S S S S αα==，故B 正确
所以选BC ．
16．解①由双曲线22
:
26
x y C λ-=过点，所以53
226
λλ-=⇒=，所以方程为221412x y -
= ②如图：
设12AF F △的内切圆与1AF ，2AF ，12F F 分别切于H ，D ，G ， 所以AH AD =，11HF GF =，22DF GF =，
所以121212122AF AF AH HF AD DF HF DF GF GF a -=+--=-=-=， 又122GF GF c +=，所以1GF a c =+，2GF c a =-，
又1EF a c =+，2EF c a =-，所以G 与(),0E a 重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，
设直线AB 的倾斜角为θ，则22
EF M πθ
-∠=
，22
EF N θ
∠=，
()()tan
tan
2
2
ME NE c a c a πθ
θ
--=---
()sin sin 222cos cos 222c a πθθθπθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎢⎥=-⋅-⎛⎫⎢⎥
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()cos sin 22sin cos 22c a θθθθ⎡⎤⎢⎥=-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()2
2
cos sin 2
2sin cos
22c a θθ
θ
θ
-=-⋅
⋅
()2cos sin c a θ
θ
=-
当2
π
θ=时，0ME NE -=， 当2π
θ≠
时，由题知，2a =，4c =
，
b
a
=
因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠
，所以tan θ<
tan θ>
∴13tan 3θ-<<且1
0tan θ≠，(
)24420,tan tan 33ME NE θθ⎛⎫⎛-=-⋅=∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，
综上所述，ME NE ⎛-∈ ⎝⎭ 故①答案为：22
1412x y -=
；,33⎛- ⎝
⎭ 三、解答题
17．（本题满分10分） 解：（1）由
sin sin sin sin c C b B
C A a a
-=- 得22c b c a a a -=-，即222
a c
b a
c +-=，则2221cos 22a c b B ac +-==，所以3
B π=．
（2）注意到4b =，3
B π
=
，3c =
，由sin sin b c
B C
=
得
43sin sin 3
C π=
，即23sin 42C ⨯==． 又20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4C π=．则53412A πππ
π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭． 5sin sin sin sin cos cos sin 12464646A πππππππ⎛⎫
==+=+ ⎪⎝⎭
122224
=
+=
所以11sin 4422343
ABC
S
bc A ==⨯⨯=+． 18．（本题满分12分）
（1）注意到(
)
*
1322,n n a a n n N
-=+≥∈，则()1131n n a a -+=+，即
11
31
n n a a -+=+．
所以{}1n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列． （2）由（1）知1
123
n n a -+=⋅，故1
23
1n n a -=⋅-．
所以()()()1
4
2123123
12133
n
n n n b n n -=+⋅--⋅+=
+⋅． 故()2343353732133n n S n ⎡⎤=
⨯+⨯+⨯+++⋅⎣⎦，两同乘以3，错位 ()()231
4333532132133
n n n S n n +⎡⎤=⨯+⨯++-⋅++⋅⎣⎦，两式相减得 ()231
42332323232133
n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⋅-⋅⎦+⎡⎤⎣ ()()1
61343213313n
n n +⎡⎤-⎢⎥=+-+-⎢⎥⎣⎦ 83n n =-⋅
所以43n
n S n =⋅，*
n N ∈
19．（本题满分12分）
（1）证明：在ABC △中，因2BC AB =，60ABC ∠=︒ 所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，又AC PB ⊥，PB ，AB 相交， 所以AC ⊥面P AB ，所以面PAB ⊥面ABCD 得证 （2）假设存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面P AD ．
如图，以A 为原点，分别以AB ，AC 为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 则()0,0,0A ，()2,0,0B
，(
)
C -
，(P
()2,AD =-
，(
AP =
，()BD =-
，(3,DP =-，
设()1111,,x n y z =是平面P AD
的法向量，则11111120
n AD n A x x P ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(
)
13,1,1n =
-
设DQ DP λ=，其中01λ
≤≤．
则()
3BQ BD DQ BD DP λλ=+=+=-
连接EF ，因AC ∥平面BEQF ，AC ⊂平面P AC ，平面PAC ⋂平面BEQF EF =，故AC EF ∥ 取与EF 同向的单位向量()0,1,0j =． 设()2222,,n x y z =是平面BEQF
的法向量，
则(
))2222220
3410
j y BQ x n n y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，取(
)
23,0,43n λλ=-．
由平面BEQF ⊥平面P AD ，知12n n ⊥，有123340n n λλ⋅=+-=，解得2
3
λ=． 故在侧棱PD 上存在点Q 且当2
3
DQ DP =时，使得平面BEQF ⊥平面P AD ． 另，用几何法也可： 由题意及（1）得EF
PA ⊥，取E 为P A 中点，则BE PA ⊥
所以PA ⊥面BEQF ，故平面BEQF ⊥平面P AD
在PAD △中，QE PA ⊥，E 为中点，进而求解。

请阅卷老师相应给分! 20
．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A ，记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件
B ，∴()36350P A =，()20
350
P AB =，∴()()()20
5350369350
P AB P B A P A === （Ⅱ）由己知可得，X 得可能取值为0，1，2
∴()100150115020002X P =
⨯==，()10050501505
150200150200112X P =⨯+⨯==，()50501
150202012
X P =⨯==，
∴X 的分布列为
∴()0122121212
E X =⨯+⨯
+⨯= （Ⅲ）()()D D ξη=
理由：∵3ξη+=，∴3ξη=-
，∴()()()()()2
31D D D D ξηηη=
-=-= 21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由己知点M 是以AO 为直径的圆上的点 ∴2
AOM π
∠=
，又∵OA
a =，2a OM =
，∴2AM a =，3
AOM π∠= ∴4a M a ⎛⎫-
⎪ ⎪⎝⎭
，又∵点M 在椭圆Γ上，∴2
2
22
441a a a b ⎛
⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得2
215b a =，∴e ==（Ⅱ）设()11,P
x y =，()22,Q x y =，
（ⅰ）由2b =，a =Γ
的方程为：
22
1204
x y += 在RT AOM △中6
OAM π
∠=
，∴直线l 的斜率为k =
∴直线l 的方程为)4y x =-，与椭圆方程联立得()22
1204
4
3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
整理得：221050x x -+=，∴125x x +=，1252x x =
，∴12121212124)1335
x x y y k k x x x x --===- （ⅱ）设直线l
的方程为)y x t =-，0t ≠
与椭圆方程联立得()22
12043x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
消去x
整理得：22
8200y t ++-=，当0∆>得2032t ≤<，
∴124y y +=-，212208
t y y -=， ∴
121122
POQ S t y y t =-==△ ∴当且仅当216t =时，POQ S
△有最大值，此时最大值是22．（本题满分12分）
解：（1）由题意得：()'x
f x e k =- 当0k ≤时，()'0f x >恒成立，得()f x 在(),-∞+∞上单调递增：
当0k >时，()ln ,x k ∈+∞时()'0f x >，此时()f x 单调递增，
(),ln x k ∈-∞时()'0f x <，此时()f x 单调递减，
综上得：当0k ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，
当0k >时，()f x 在(),ln k -∞单调递减，在()ln ,k +∞上单调递增。

（2）（ⅰ）当1k =时，()()()22212x e x f x g x x x
--==，0x > 欲证()1g x >，往证212x
x e x >++，即证22212x x x e ++<， 记()2222x x x h x e ++=，0x ≥，得2
'()02x x h x e
=-≤，故()h x 在()0,+∞上单调递减， 得()()01h x h <=，0x >．故当0x >时，()1g x >成立．
（ⅱ）由（ⅰ）得当0x >时，()1g x >，
故当113
x =，得()211x e g x =>，进而20x >，依次得0n x >，*n x N ∈． 欲证()ln 2ln 12n n x n +<+，即证112
n x n e -<． 下面先证关系()11112n n x x e e +-<-，即证()()
1112n x n g x e -<-，0n x >．
即()()2
21
1112n n x n x n e x e x ---<-，整理得即证：()2(2)20n x n n n x e x x ⎡⎤+-++>⎣⎦ 记()()22x F x e x x =-++，0x ≥，得()()'110x F x x e =-+>
又()0''x F x xe >=，所以()'F x 在[)0,+∞上单调递增，有()()''00F x F ≥=，0x ≥
所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，得()()00F x F ≥=，0x >
故当0n x >，*n x N ∈时，有()0n F x >，所以()()
1112n x n g x e -<-，0n x >． 故()()()1111321111111112222n n n x x x x n n e e e e e ++⎛⎫-<-<-<<-=- ⎪⎝⎭
又2708e -<，得1332e <，所以131111*********
n x n n n e e --⎛⎫⎛⎫-<-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()ln 2ln 12n n x n +<+得证．。