2016甘肃钢铁职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

限时：50分钟 满分：80分
(共16个小题，每小题5分，共80分)
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1
x
D ．y ＝x |x |
解析：选D A 选项中的函数为非奇非偶函数．B 、C 、D 选项中的函数均为奇函数，但B 、C 选项中的函数不为增函数，故选D.
2．函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.
3．已知x ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( )
A ．tan x ≥sin x ≥x
B ．tan x ≥x ≥sin x
C ．大小关系不确定
D ．|tan x |≥|x |≥|sin x | 解析：选D 结合y 1
＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图像可
知D 正确．
4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n
2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )
A ．3 B.1
3
C ．11 D.
111
解析：选D 由a 1＝1，a n ＋1＝a n
2a n ＋1得a n >0，
∴2a n ＋1>a n ，即
a n
2a n ＋1
<1，故排除A 项，C 项．
又a 2＝a 12a 1＋1＝1
3，又由已知可以看出a n ＋1<a n ，
故a 6应小于1
3
.
5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2内是减函数，则( )
A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
解析：选B ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，
∴y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D.
6．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析：选C 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝⎛⎭
⎫1
2x ，在同一坐标系下分
别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝⎛⎭⎫12x
的图像，如右图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 有两个实数根．
7．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )
解析：选B 法一：由y ＝f (x )的图像写出f (x )的解析式．
由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎨⎧
x ，0≤x ≤1，
1，1<x ≤2.
当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，
所以f (2－x )＝⎩⎨⎧
1，0≤x <1，
2－x ，1≤x ≤2，
故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧
－1，0≤x <1，
x －2，1≤x ≤2.
图像应为B.
法二：利用特殊点确定图像．
当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B
8．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )
A ．P ＝S M
B ．P >S
M C ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n D ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n
解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S
M 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．
再取等比数列：2,2,2，…则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠S
M ，
所以A 选项不正确．
9．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .
取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝1
2时，函数f K (x )的单调递增区间为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
解析：选C 函数f (x )＝2
－|x |
＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝1
2
⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．
10．自圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0外一点P (0,4)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，
则PA ·
PB 等于( ) A.125B.6
5 C.
855 D.45
5
解析：选A 由圆的方程(x －1)2＋(y －2)2＝1知圆心为(1,2)，半径为1.
设PA 、PB 的夹角为2θ，则切线长 |PA |＝|PB |＝(1－0)2＋(2－4)2－12＝2， 结合圆的对称性，cos θ＝255，cos 2θ＝3
5
， 所以PA ·PB ＝12
5.
11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )
A.22
B.3
2
C.2
D. 3
解析：选C 法一：棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S 1＝12×2×2×
3
2＝3，显然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于
3
2
与3两者之间，从而选C. 法二：将棱长为2的正四面体ABCD 放入到正方体中，如图，M 为CD 的中点．则正方体棱长为2，正方体的中心即为球心．平面MAB 必过球心，所以S △MAB ＝1
2
×2×2＝ 2.
12．已知函数f (x )＝
1
ln (x ＋1)－x
，则y ＝f (x )的图像大致为( )
解析：选B 当x ＝1时，y ＝
1
ln 2－1
<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；
当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C.
13．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )
A ．y 2
＝x B.x 22
－y 2
＝1
C ．(x －2)2
＋y 2
＝4 D.x 23
＋y 2
＝1
解析：选D 依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于
4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322＝1，即直线l 是圆x 2
＋y 2
＝1的切线．而圆x 2
＋y 2
＝1的切线x ＝－1与曲线y 2
＝x ，曲线x 22－y 2
＝1，
曲线(x －2)2＋y 2＝4均没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1内，因此圆x 2＋y 2
＝1的切线与曲线x 23
＋y 2＝1一定有公共点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
⎪⎪⎪
⎪x ＋1x ，x ≠0，
0，x ＝0，
则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个
不同实数解的充要条件是( )
A ．b <－2且c >0
B ．b >－2且c <0
C ．b <－2且c ＝0
D ．b ≥－2且c ＝0
解析：选C 设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2
＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图像如图所示，显然，当⎪⎪⎪
⎪
x ＋1
x ＝t >2时，有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t 2＋
bt ＋c ＝0有一个零根和一个大于2的根，故b <－2且c ＝0，故所求充要条件为b <－2且c ＝0.
15．F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2
＝1的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则|1PF ·2PF |的最大值是( )
A ．4
B ．5
C ．1
D ．2
解析：选D 设动点P 的坐标是(2cos α，sin α)，由F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则1PF ＝(－2cos α－3，－sin α)，2PF ＝(－2cos α＋3，－sin α)．
所以|1PF ·2PF |＝|4cos 2α－3＋sin 2α|＝|3cos 2α－2|≤2.
16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2
，x ∈[－1，0)，
且f (x ＋2)＝
f (x )，
g (x )＝2x ＋5
x ＋2
，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )
A ．－5
B ．－6
C ．－7
D ．－8
解析：选C 记f (x )－2＝f 1(x )，g (x )－2＝g 1(x )，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的根与方程f 1(x )＝g 1(x )在区间
[－5,1]上的根相同．令x＋2＝t，则x＝t－2，当x∈[－5,1]时，t∈[－3,3]，方程f1(x)＝
g1(x)，即f1(t－2)＝g1(t－2)，g1(t－2)＝1
t，在同一坐标系下画出函数y＝f1(t－2)，t∈
[－3,3]的图像与g1(t－2)＝1
t，t∈[－3,3]的图像，结合图像可知，它们的图像共有三个
不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为t1、t2、t3，则有t1＋t3＝0，t2＝－1，(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＝t1＋t2＋t3＝－1，则x1＋x2＋x3＝－7，因此方程f(x)＝g(x)
在区间[－5,1]上的所有实根之和等于－7.。