高中数学_双曲线几何性质的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

§2.3.2 《双曲线的简单几何性质》教学设计
数学组
一、教学目标
知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质
的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在
联系.
二、教学重、难点
1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；
2. 教学难点：双曲线的渐近线.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）……（师生共答）
在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你
认为应该研究双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的哪些性质呢？
生：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等. 回顾一下双曲线的简单几何性质
我们今天要共同学习的内容：双曲线几何性质的应用 （二）讲授新课：
我们先来回顾一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的简单几何性质
（1）范围
（PPT ）从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈
（2）对称性
（PPT ）从图形看，双曲线关于什么对称性？
生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的
那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？ 生：……（犹豫）
提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

a x a x -≤≥或012222≥-=a
x b y 2
222
,1a x a
x
≥≥∴即a
x a x -≤≥∴或
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点
椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）
类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ±
虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。

椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。

双曲线中也有类似的定
义。

如图，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做半实轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长.
我们知道，双曲线定义中a 和b 的大小关系是不确定的。

但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b 。

此时实轴2a 和虚轴2b 也是相等的。

实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为 （4）离心率
类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==
22，叫做双曲线的离心率。

椭圆离心率的范围是什么？（10<<e ）。

它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e 越大椭圆越扁）。

那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？10>∴<<e c a
e 对双曲线的形状有何影响呢？通过几何画板演示，得出结论：e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大
（5）渐近线
几何画板演示：
图1：初中学过，双曲线x
y 1
=
的图像与x 轴和y 轴无限接近但不相交，那么x 轴和y 轴就是双曲线x y 1=的渐近线，只不过双曲线x
y 1
=不在标准位置。

图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是x a
b
y ±
= 定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。

)
0(22≠=-m m y x
双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是x a b y ±=即0x y
a b
±=
注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程
22221(0,0)x y a b a b -=>>中的1改为0后得到新的方程22
220(0,0)x y a b a b
-=>>，它的解就是两条渐近线方程。

（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式） 等轴双曲线2
2
(0)x y m m -=≠的渐近线方程是y x =±
渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。

（简述作图过程）
下面，我们来研究一下焦点坐标在y 轴上的双曲线的简单几何性质。

2 双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的简单几何性质
（1）范围 a y a y -≤≥或 R x ∈ （2）对称性 关于x 轴、y 轴、原点都对称 （3）顶点 ),0(a ± （4）离心率 a
c e =
（5）渐近线 x b a y ±
=即0y x a b
±= 此处渐近线方程和双曲线方程的关系与前面类似。

同学们完成基础检测
（三）例题讲解
例1．求下列双曲线的标准方程：
(1)双曲线
22
1916
x y -=有共同渐近线，且过点(3,23)-； (2)双曲线
22
1164
x y -=有公共焦点，且过点(32,2) 总结:
1、“共渐近线”的双曲线的应用
22
221x y a b
-=与共渐近线的双曲线系
方程为:___________.
λ>0表示焦点在______上的双曲线； λ<0表示焦点在______上的双曲线。

22
222222
22211.(0)x y a b
x y m c m c m
-=-=<<-2、与共焦点的双曲线系方程是
例2.
M(,)(5,0)16
:5
5
M .
4
x y l x =点到定点的距离
和它到直线的距离比是常数,求点的轨迹
总结双曲线的第二定义:
平面内，若定点F 不在定直线l 上，则到定点F 的距离与到定直线l 的距离比为常数e (e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率.
注意:点M 到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义. 变式训练:
１、已知在双曲线
22
16436
x y -=上,一点P 到双曲线右焦点的距离是 8， 求P 点到右准线的距离。

2、已知双曲线22
16436
x y -
=上一点P 的横坐标是 9， 求P 点到左焦点的距离。

例 3.已知双曲线
22
1169
x y -=,F 1,F 2 是其左右焦点, 设点A(9,2),在曲线上求点M,使24
5
MA MF +
的值最小,并求这个最小值. 2
2(,0)(,0)a x c c a
x c c
==--是对应右焦点的右准线
是对应左焦点的左准线
（四）课堂训练
,
.
(2).(1)"y ""
.
4
1.(1)已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为3 求双曲线的方程中的焦点在轴上改为焦点在坐标轴上",求双曲线的方程
2.已知点A （3,2），F （2,0）， P 为双曲线 2
2
13
y x -=右支上 一点， 求｜PA ｜＋
1
2
｜PF ｜的最小值
（五）课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1 双曲线的简单几何性质
2“共渐近线”的双曲线的应用
22
2222
22
2221 1.(0)x y a b
x y m c m c m
-=-=<<-与共焦点的双曲线系方程是 双曲线的第二定义
（五）作业布置
同步练习册拓展3,6
学情分析与学生水平分析
1.学情分析：在此之前，学生已经学习了椭圆的简单几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。

通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构基础上拓展延伸，构建新知识体系；对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。

2.学生水平分析：我班学生是从全县各地招来的部分优秀的学生，数学基础扎实，自主学习能力较高。

在本节课的学习中，可以发挥学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学。

效果分析
从学生做题情况看,基本知识掌握还行,对于规律性的东西应用还有欠缺.比如共渐近线的双曲线系方程的应用,共焦点的双曲线系方程的应用,第二定义的应用等都不熟练,一些辅助条件的说明丢三落四,不完整.知识考察的变式训练有点差距,知识的外延处理能力有待于提高.希望同学们再找部分同类型的题目(同步练习册上的),加强训练,巩固提高.
教材分析
本节内容是人教社出版的普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）《数学》第二章第二节第二课时，属于解析几何领域的知识。

由曲线方程研究曲线的几何性质，是高中阶段解析几何所研究的主要问题之一。

二次曲线:圆、椭圆、双曲线、抛物线是解析几何的主要研究对象，由于这四种曲线可以通过用不同的方式截圆锥得到，统称为圆锥曲线，在学习时，要注意挖掘它们之间的内在联系和区别，注意圆锥曲线之间的共同点与特殊性。

本节课通过类比椭圆的简单几何性质,探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、
对称性、顶点、离心率），并且进一步探究出双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线），为后续的抛物线的几何性质的研究做好铺垫。

因此这节课在教材中起承上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要的意义。

知识点梳理:
平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于2C ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 双曲线的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
2210,0y x a b a b -=>>
范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()
1,0a A -、
()
2,0a A
()
10,a A -、
()
20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点 ()
1,0F c -、
()
2,0F c
()
10,F c -、
()
20,F c
焦距 ()
222122F F c c a b ==+
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
离心率
)2
211c b e e a a ==+>
准线方程
2a x c =±
2
a y c =±
渐近线方程
b y x a =±
a y x
b =±
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
设M 是双曲线上任一点，点M 到
1
F 对应准线的距离为
1
d ，点M 到
2
F 对应准线的距离为
2
d ，
则121
2
F F e
d d M M =
=．
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
课堂巩固测评
1．双曲线13
2
2
=-y x 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（ ） Ａ．060 Ｂ．090 Ｃ．0120 Ｄ．0150
2．如果22
1||21x y k k
+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ） A ．(1,＋∞) B ．（0，2） C ．(2,＋∞) D ．（1，2）
3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x －2y =0，则该双曲线的离心率为（ ） A
或 5 B
或 3 C
D ．54 或5
4．过点（－7，－6 2 ）与（27 ，－3）的双曲线标准方程为 .
5．已知F 1，F 2是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线右支上，
O 为坐标原点，若△POF 2是面积为1的正三角形，则b 的值是 .
6． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.
3＋12 D.5＋1
2
7．双曲线x 216－y 2
9
＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
8．双曲线的渐近线为y ＝±4
3x ，则双曲线的离心率为________.
9． 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________.
10．点M(x，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l：x＝9
5的距离的比是
5
3，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设(1)中所求方程为C，在C上求点P，使|OP|＝34(O为坐标系原点).
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0) .
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若MQ的长是QF的2倍，求直线l的方程.
测评分析
从学生做题情况看,基本知识掌握还行,对于规律性的东西应用还有欠缺.比如共渐近线的双曲线系方程的应用,共焦点的双曲线系方程的应用,第二定义的应用等都不熟练,一些辅助条件的说明丢三落四,不完整.知识考察的变式训练有点差距,知识的外延处理能力有待于提高.希望同学们再找部分同类型的题目(同步练习册上的),加强训练,巩固提高.
课后自我反思
圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题，主要是对圆锥曲线几何性质的考查，因此，课堂教学时应重视对圆锥曲线几何性质的归纳和运用.
利用方程讨论曲线的性质的这种方法，学生在学习讨论圆、椭圆的性质时已经尝试探讨过，所以这节课主要是对照椭圆几何性质，让学生通过类比的思想方法得出双曲线的几何性
质,探究几何性质的应用.充分调动学生学习的积极性，使学生更清楚地区分两者曲线，找出“共性”和“个性”.而离心率的值是判断圆锥曲线类型方法之一，特别是当圆锥曲线的对称轴不是或不平行于坐标轴时，判断圆锥曲线类型的主要手段就是离心率的值，让学生整体分析，用自己的语言归纳双曲线的几何性质，通过类比教学使学生清楚椭圆主要有六点两线，双曲线共有四点四线（两个焦点、两条准线、两条渐近线），从而使学生真正地领会其性质的实质.
渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质，渐近线确定了双曲线的开口程度，但渐近线方程确定其对应的双曲线不一定确定.老师可简单解释.
由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时，首先确定虚实轴在哪个坐标轴上，否则要分类讨论.
本节课的设计，主要通过类比椭圆的几何性质，引导学生独立思考，归纳双曲线的几何性质,探究几何性质的应用，整个课堂始终贯穿"体验为主线，思维为主攻"的设计理念，教师仅仅起到引路的作用，学生在课堂上积极主动参与到课堂活动中来，充分发挥了学生的主体地位，调动了学生学习的积极性和主动性，培养了学生自主学习的能力.
课标分析
在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感
受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

结合已学过的曲线及其方程
的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。

圆锥曲线与方程（约16课时)
（1）圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用。

②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标
准方程、几何图形及简单性质。

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的
位置关系）和实际问题。

⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

（2）曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感
受数形结合的基本思想。

在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、
探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。

教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理
解。

有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所
得的圆锥曲线（参见选修1-1案例中的例1）。

教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、
卫星的运行轨迹。

曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对
应关系，感受数形结合的基本思想。

对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解
圆锥曲线的离心率与统一方程。

有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通
过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一
步理解曲线与方程的关系。

11。