新课标高考数学试题的命制的回眸与展望

新课标高考数学试题的命题的回眸与展望——兼析2010年高考数学（理科）试题
海南华侨中学李红庆
新课标高考数学试题的命题的回眸与展望
新课程高考已经在最初进行课程改革的海南、宁夏、山东、广东四省（区）考了4年，作为海南重点中学的教研组长，连续3年受海南省考试局聘任的高考数学阅卷质量检查员，海南省高考数学方案《考试说明》的起草与论证的专家组成员，经历了4年考前调研试题的制作，3年试题评卷质量检查监督，连续4年试题分析与评价报告．可以说新课程高考过程我具备完整的履历．另外，这几年我为报刊杂志写了不少模拟试题，压轴题的预测的文章，连续3年的试题分析与评价报告都发表在考试专业委员会的刊物《考试研究》上，对2007年海南、宁夏试题的研究的文章《“沿袭”与“创新”永远是高考数学命题的主旋律》发表在《数学通报》2008年第3期上，对2009年海南、宁夏试题的研究的文章《一览庐山真面目方知身在此山中》发表在《数学通报》2009年第8期上，对2010年理科数学第21题的文章《一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法》发表在《中学数学》2010年第9期上．今天我报告的内容：高考数学命题特点的4年回眸，今年数学命题走向的展望，并兼评析2010年高考数学（理科）试题．
一、4年命题特点回眸
1．4年试题内容分布结构：
2007年试题内容分布结构示图解：
2008年试题内容分布结构示图解：
2009年试题内容分布结构图解：
2010年试题内容分布结构图解：
2．试题出现的特点：
必修一：前3年是1道简单的集合运算和1道函数的性质；2010年有3道小题，明显必修一考点与传统试题在靠拢．
必修二：前3年是1道三视图的体积计算或三视图与基本不等式结合运算，1道在在长方体模型下位置关系判断，1道与空间向量都能解决的立体几何大题；2010年必修二的内容明显在增加，必修二分值提高了10分．
必修三：前3年是1道算法框图，1道统计的数值特征，1道必修三与选修2-3结合的大题；2010年必修三只有1道程序框图，必修三连续3年考点较多，今年有明显的下降．必修四：前3年是1道三角函数图像，1道三角变换，1道平面向量与其他知识结合的小题，如果不出现数列大题时，或出现一道平面向量与三角结合的大题；2010年只有一道涉及到半角公式的三角变换小题，考点数和分值明显减少．
必修五：前3年是1或2道数列小题，1道不等式小题，如果不出现数列大题时，或出
现一道解三角形的大题，或与算法结合解三角形的大题，或出现一道数列大题，不难会与推理结合；2010年是1道解三角形的余弦定理和面积公式的试题，1道考查数列递推关系，叠加方法求通项和错项相减求和的大题，尽管是放的第17题的位置，既考常规又有一定的难度，考点与分值明显增加．
选修2-1：内容与分值比较稳定，前3年是1或2道涉及到圆锥曲线性质的小题，1道简单逻辑用语的小题（命题的否定，充分、必要条件判断，与、或、非运算），1道与必修二都能解决的立体几何大题，1道圆锥曲线的大题；2010年考试内容比较常规，分值稳定．
选修2-2：考试内容与分值比较稳定中稍有加强，前3年是1道简单的复数运算，或1道导数的分析函数性质或积分题，1道导数解决函数性质的大题（考查分类讨论思想）；2010年是1道复数小题，1道圆锥曲线小题，1道导数应用和1道各分小题，1道传统的导数应用的分类讨论大题，分值、难度、考点明显在变化．
选修2-3：稳定中有点减弱，前3年与必修三结合整合成一道大题，1道计数原理或二项式定理小题，或统计案例的内容大题；2010年小道二项分布小题，1道独立检验的大题，但难度较小，每年都在选修2-3中找实际应用试题，应该说对新增加的内容考遍了，可以预测概率统计类应回归传统了．
3．内容没有变但考点在变换
内容分值基本上没有太多变化，但考点在变，如：考简单逻辑用语的内容：
2007年考点是全称命题的否定，已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则 （ ）
A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥
B ．p ⌝：x R ，sin 1x ≥
C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x >
D ．p ⌝：x R ，sin 1x
2008年考点是充分与必要条件，平面向量a ，b 共线的充要条件是 （ ）
A ．a ，b 方向相同
B ．a ，b 两向量中至少有一个是零向量
C ．R λ∃∈，λ=b a
D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=a b 0
2009年考点是判断命题的真假，有四个关于三角函数的命题：
1p ：x R ∃∈，2
21sin cos 222x x += 2p ：x ∃，y R ∈，sin()sin sin x y x y -=-
3p ：(0,]x π∀∈sin x 4p ：sin cos x x =⇒2
x y π+= 其中的假命题是 （ ）
A ．1p ，4p
B ．2p ，4p
C ．1p ，3p
D ．2p ，3p
2010年考点是考两个命题的“或”、“且”、“非”的运算：
已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是（ ）
A ．1q ，3q
B ．2q ，3q
C ．1q ，4q
D ．2q ，4q
纵观命题的走向，2007年仅考全称命题的否定的表达式的书写，不判断真假；2008年表面考充要条件，实质上考存在命题的概念，对于答案C 来说，存在λ是有前提条件是≠a 0，并且λ是能找出来的，即λ=b
a ，存在命题的存在是具体的东西，不是抽象的；2009年考
判断以三角函数为背景的全称、特称命题的真假．2010年试题走向可以继续考充要条件，也可能考两个命题的“或”、“与”、“非”的判断；今年考点预测比较困难，因为当考的考点都考遍了．
又如：统计内容，2007年考统计的数字特征之一方差问题，2007年试题：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
1s 、2s 、3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差．则有（ ）
（A ）3s >1s >2s （B ）2s >1s > 3s
（C ）1s >2s >3s （D ）2s >3s >1s
点评：本题采用又“算”又“不算”的方法最好，“算”注意提出公因数，“不算”注意规律，如()()()157891057105892020x ⨯+++⨯++⨯+==()175520
⨯+=中不要约分，再如()()()()2222115 1.550.550.551.520s ⎡⎤=-+-++⎣
⎦，把式子整理： 2211(55) 1.5(55)0.520s ⎡⎤=+⨯++⨯⎣⎦=()()1210210122108810110 1.5100.520
⎡⎤↑↓⨯+↓↑⨯⎣⎦或或． 本题还可以利用标准差的“平均距离”的含义，不经过计算直接得到结论．
2008年考的统计的茎叶图，2008年试题：从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 354 356
由以上数据设计了如下茎叶图：（略）
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ；② ．
对变量x ，y 有观测数据(,)i i x y （1i =，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(,)i i u v （1i =，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断 （ ）
A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 正相关
B ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关
C ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关
D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 负相关
纵观命题的走向，统计从考数值特征，茎叶图，统计案例的散点图的相关性，从大题来看，已经考了统计数据的直方图与数学期望，实际上也考了数据的折线图，2010年考了统计案例中独立检验，现在的走向是回归直线的偏差、残差图和统计的抽样方法问题，数据的表格与扇形图，这些考点是命题的考量，当也可以把考点转向离散变量问题．
4．同一考点但难易程度有变化，如复数考点为例：
2007年试题：i 是虚单位，
51034-++i i
= （用a b +i 的形式表示，a ，b R ∈） 2008年试题：已知复数1z =-i ，则221
z z z -=-（ ） A ．2i B ．2-i C ．2 D ．2-
2009年试题：复数32322323+---+i i i i
等于（ ） A ．0 B ．2 C ．2-i D ．2i
2010年试题：已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z =（ ）
A ．
14 B ．12
C ．1
D ．2 前4年都是考复数加减运算与分母实数化，2010年新增加了共轭复数概念考查，难度明显增大了．
5．新课标与大纲的试题的区别
以立体几何多面体试题为例，新课程主要考查视图、识图能力，计算图形的表面积与体积，新教材中不定义正棱锥、正棱柱、正棱台，教材的重点是视图、识图与计算，2007年、2009年考棱锥的三视图的体积，2008年考以长方体为模型的三视图与基本不等式交融问题，实行新课程的其他试题对三视图考查也多．
又以算法的试题为例，这三年都考查了算法的框图问题，对于算法还是我在2007年讲的话，算法框图是以考查赋值框，判断框，输出输入框等功能的基础，从思维推理和代数运算角度考查学生，对于程序编写，还不能进行考查，其一，教材使用的程序还没有完全统一；其二，考虑到幅员辽阔国情，城乡差别较大，如果出现编写程序的题对考生有失公平．2009年考了以解三角形为背景的算法思想，这是一道非常好的题目．
2009年理科第17题是一道开放性有度且可控的经典之作．它可以从新课程所倡导的研究性学习，算法思想和测量问题的实验的角度上解决问题，当然这道本质是考查算法思想，就算法思想而言，考生思考空间还比较广阔的，下面列举一些可行的方案．
试度用开放性命题，但每次试验都不太成功，2008年茎叶图定性描述，学生描述非常混乱，试题极不好评分，2010年也是填空题，答案是开放的，应该说确切答案应是：圆锥、三棱锥、正四棱锥，当然还有三棱柱、一个侧面垂直于底面且底面是矩形的四棱锥等，问题是符合上述条件的四棱锥其实也是四棱锥，三棱柱也有符合条件的，也有不符合条件的，究
竟填哪答案才符合题目的外延呢？！因此，这类试度是失败的．
二、今年高考试题命题的走向
统计、概率与离散变量的分布列命题走向
统计、概率与离散变量分布列类的试题，国家考查中心命制试题往往受到它旗杆、引领作用的限制，这几年试题几乎把必修三和选修2-3新增加的内容都考够了，07年几何概型与二项分布相结合的试题，08年考查离散变量的线性关系的数学期望、方差关系，09考查统计数据的直方图，数据的期望，2010年还考查统计数据的频率分布直方图、数据的概率、分类变量的独立检验（辽宁第18题和全国新课标第19题）．从国家考试中心命制其他两题来看，在概率试题上专家在骨子里还是考查注重过程分析的离散变量分布列问题，从全国新课标试题的选择题来看，试题已经向大纲试题回归，我预测概率统计类试题也应该向大纲试题回归了．现在是时候了．
辽宁省理科18题：为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只
家兔做试验，将这200只家兔随机分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组
mm）注射药物B ．表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．（疱疹面积单位：2表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30 40 20 10
表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数10 25 20 30 15 （Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并且比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．
表3：
疱疹面积小于70mm 2 疱疹面积不小于70mm 2 合 计 注射药物A
a =
b = 注射药物B
c =
d = 合 计
n = 附：2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++． P （K 2≥k ）
0．100 0．050 0．025 0．010 0．001 k 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828
两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过初审专家的评审的概率均为0.5，复审稿件能通过评审的概率为0.3．各位专家独立评审．
（Ⅰ）求投向该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）记X 表示投到杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．
解析：（Ⅰ）记A 表示事件：稿件能通过初审专家的评审；
B j （j=1，2）表示事件：稿件能通过第j 位初审专家的评审；
C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审．
因为()0.5j P B =，()0.3P C =，则有211212()A B B B B B B C =++，
所以，()0.50.5(0.50.50.50.5)0.3P A =⨯+⨯+⨯⨯0.4=；
（Ⅱ）因为~(4,0.4)X B ，0X =，1，2，3，4．则X 的分布列为
44
()0.40.6k k k P X k C -==（0k =，1，2，3，4） X 的数学期望是40.4 1.6EX =⨯=．
评析：考查事件的相互的逻辑关系，互斥事件的概率、二项分布与数学期望，属于注重过程分析，设分事件处理问题比较方便．
全国大纲试题Ⅱ理科20题：如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；
（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元
件个数，求ξ的期望．
解析：记j A 表示事件：电流能通过元件j T （1j =，2，3，4）；
A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少一个能通过电流；
B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． （Ⅰ）123A A A A =，1A ，2A ，3A 相互独立，
则()P A =123()P A A A =3(1)p -10.999=-0.001=，则0.9p =有；
（Ⅱ）414123()B A A A A A A =++，则有
()414123()()(()()())()P B P A P A P A P A P A P A =++0.9891=
（Ⅲ）由于电流通过电子元件的概率都是0.9，且电流能否通过电子元件是相互独立， 所以，~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=⨯=．
导数应用与函数的命题走向分析：
导数应用与函数类试题的命题，往往选择对数和指数函数为背景，考查函数的单调性，含参量的分类讨论，求不等式恒成立的条件，今年从国家考试中心命制的理科4份试题来看，围绕着两个重要不等式1x e x ≥+（仅当0x =时等号成立），ln(1)x x +≤及其变式，如：全国新课标试题第21题（1x e x ≥+），全国大纲Ⅱ理科第22题（1x e x ≥+）；全国大纲Ⅰ第20题（用1x -替代ln(1)x x +≤中的x ，得ln 10x x -+≤，再用
1x 替代ln 10x x -+≤中x ，得11ln 10x x
-+->；辽宁省试题还是沿袭过去分类讨论的风格． 辽宁理科第21题：已知函数()2(1)ln 1f x a x ax =+++．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设1a <-，如果对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，()()12f x f x -124x x ≥-，求a 的取值范围．
解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()221ax a f x x
++'=， 当1a ≤-时，()0f x '<，故函数()f x 在(0,)+∞上是减函数；
当10a -<<时，令()0f x '=得，x =，若x ∈时，()0f x '>；若
)x ∈+∞时，()0f x '>．故函数()f x 在上是增函数；在)+∞上是减函数．
当0a ≥时，()0f x '≥，故函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）当1a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，
不妨设120x x <≤，则
()()12f x f x -()()12f x f x =-，122144()x x x x -=-，
对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，()()12f x f x -124x x ≥-等价于
()()112244f x x f x x +≥+恒成立，则函数()()4g x f x x =+在(0,)+∞上是减函数，
()2241ax x a g x x +++'=0≤在(0,)+∞上恒成立，即min 241()21
x a x +≤-+， 因为2214()414119212()()448x x x x x -++-=++-++4192()1148()4
x x -=++-
+2≥=-， 所以，2a ≤-，故a 的取值范围是(,2]-∞-．
全国大纲Ⅰ理科第20题：已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．
（Ⅰ）若()21xf x x ax '≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥．
解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1ln 1x f x x x +'=+-= ln 1x x x
+， ()21xf x x ax '≤++，则ln a x x ≥-+在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln h x x x =-+，()11h x x
'=-+，令()0h x '=得1x =，则()max (1)1h x h ==-，故a 的取值范围[1,)-+∞； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()ln 1h x x x =-+≤-，即ln 10x x -+≤，
当01x <<时，()(1)ln 1f x x x x =+-+ln ln 1ln 0x x x x x x =+-+≤<，又10x -<， 所以(1)()0x f x -≥；
当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+11ln (ln
1)x x x x
=+-+-ln 0x ≥>， 所以(1)()0x f x -≥．注意：考查不等式ln(1)x x +≤！ 全国大纲Ⅱ理科第22题：设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤+，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1
x f x x ≥+等价于1x e x ≥+，令()1x g x e x =--， ()1x g x e '=-，若10x -<≤时，()0g x '≤；若()0g x '>．所以()(0)0g x g ≥=，
即1x e x ≥+，故当1x >-时，()1
x f x x ≥+； （Ⅱ）由题设0x ≥知，()10x f x e -=-≥，当0a <时，存在1x a >-，01x ax <+，所以()1x f x ax ≤+不成立；当0a ≥时，()1
x f x ax ≤+等价于()()0axf x f x x +-≤， 令()h x =()()axf x f x x +-，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，()()1x f x e f x -'==-， 则 ()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-．
（i ）当102
a ≤≤时，由（Ⅰ）知，()(1)x x f x ≤+，于是 ()()()()()(1)h x af x axf x a x f x f x '≤-++-()(21)a f x =-0≤，
则 ()h x 在[0,)+∞上是减函数，()()00h x h ≤=，即()1x f x ax ≤
+成立； （ii ）当12
a >时，由（Ⅰ）知：1x e x ≥+，1x e x -≥-，即()x f x ≥，于是 ()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-()()()()af x axf x af x f x ≥-+-，
即()()(21)h x a ax f x '≥--，存在210a x a
-<<
，使得()0h x '>， 即 21(0,)a x a -∃∈时，()(0)0h x h >=，所以()1
x f x ax ≤+不成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1[0,]2
． 另解：（Ⅱ）()111x x f x e ax =-≤+对0x ≥成立，由110x e
-≥知0a ≥， 又 10ax +>，则11x ax ax x e ++-≤，若0x =时，a 为任意实数； 若0x >时，得11(1)x x x e a x e -+≤+-，令1()(1)x x x e u x x e -+=-111x e x
=--， ∴ ()22
1(1)x x e u x e x '=-+-0>？，从而()u x 在(0,)+∞上递增， 01lim[1](1)
x x x x e a x e →+-≤+-011lim (1)x x x x e x e →+-=+-011lim 1x x x x e e xe →-=+-+01lim 2x
x x x e e xe →-=++ 0111lim
22x x →-=+=+，故实数a 的取值范围是1[0,]2
． 解析几何试题命题的走向分析：
解析几何试题命题方向比较稳定，还是在考查圆锥曲线各种几何量及位置关系，考查直线与圆锥曲线的位置关系，试题命题挥不去的向量情结，解题方法上也挥不去的根与系数的
关系的情结．注意传统教材中一些好的东西，尽管新课标减掉了，但解题的帮助较大，也要适当向学生介绍，如圆锥曲线的焦半径公式，今年试题使用焦半径公式做比较简捷．
辽宁理科第20题：设1F ，2F 分别为椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，
过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为． （Ⅰ）求椭圆C 的焦距；
（Ⅱ）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程．
解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距122F F c =，依题意，2sin 6023c =2c =，故焦距为4； （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222AF F B =及l 的倾斜角为60，
直线l 的方程为2)y x =-．
联立2222222)
y x b x a y a b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得22244(3)30b y y b ++-=（∵224a b =+）
由韦达定理知，412234(3)b y y b =-+，12y y +=，
因为222AF F B =，122y y =-，令2y Y =，则12y Y =-，
所以，42
122324(3)b Y y y b -==-+，得42
238(3)
b Y b =+，---------①
21223
Y y y b -=+=-+，得42
22248(3)b Y b =+，--------②
由①、②得，25b =，从而得，29a =，
故椭圆C 的方程为22
195
x y +=．
另解（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由于l 的倾斜角为60，
直线l 的方程为2)y x =-．
联立2222222)
y x b x a y a b
⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，22244(3)(2)4(2)0b x b x b +-+--=（∵224a b =+）
因为222AF F B =，得1222(2)x x -=-，令22x t -=，则122x t -=-，
依韦达定理得，t -=2122(2)(2)3b x x b -+-=-+，得2
23
b t b =+，------①
2
2t -=4122(2)(2)4(3)b x x b --=-
+，得42
28(3)
b t b =+，-------② 由①、②得，25b =，从而得，29a =，
故椭圆C 的方程为22
195
x y +=．
全国大纲Ⅰ理科第21题：已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与
C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴对称点为
D ．
（Ⅰ）点F 在直线BD 上；
（Ⅱ）设8
9
FA FB =，求△BDK 的内切圆M 的方程．
解析：（Ⅰ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)D x y -，直线l 的方程为1x my =-， 联立2
1
4x my y x
=-⎧⎨
=⎩，得2440y my -+=，依韦达定理得，124y y m +=，124y y =，
直线BD 的方程为2211221()4y y y y y x x x --=
--，即2
22124
()4
y y y x y y -=-+， 令0y =，得12
14
y y x =-
=，故点F 在直线BD 上． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，124y y m +=，124y y =，1112x my -=-，2212x my -=-， 则 22121212(1)(1)2()884x x m y y m y y m --=-++=-，由8
9
FA FB =得，28849m -=，
解之：4
3
m =±
，则直线l ：3430x y -+=或3430x y ++=， 由（Ⅰ）知，判别式△216716(1)9m ⨯=-
=
，21||y y -=
21
4BD k y y ==-，
直线BD 的方程为330x -
-=或330x -=，因为A 关于x 对称点为D ，则KF 为
BKD ∠的角平分线，设圆心为(,0)t ，则
|33||33|54t t +-=
，解之1
9
t =或9t =（舍）， 半径1
3|1|
2953r +==，故圆M 方程为2214()99
x y -+=． 全国大纲Ⅱ理科第21题：已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）
相交于B ，D 两点，且BD 中点为(1,3)M ．
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF =，
证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．
解析：（Ⅰ）由题设知，直线l ：2y x =+，设11(,)B x y ，22(,)D x y ，
联立222222
2
y x b x a y a b =+⎧⎨
--=⎩，得222222()4(4)0b a x a x a b ---+=，
依韦达定理：2122242a x x b a +==-，得2222
2()a c a a =--，得2c e a
==；
（Ⅱ）由（Ⅰ）双曲线C ：222330x y a --=（0a >），(,0)A a ，(2,0)F a ，
122x x +=，2
12432
a x x +=-0<，不妨设1x a ≤-，2x a ≥，则
22221111||(2)44BF x a y x ax a -+-+12a x =-，
||DF 222
22222(2)44x a y x ax a -+=-+22x a =-，
所以，12||||(2)(2)BF DF a x x a =--=212122()4a x x x x a +--=2548a a ++17=， 解之：1a =或9
5
a =-（舍），故12||2|BD x x =-6=，||3MA =，
则|MB |=|MD |=|MA |=3，经过B ，D 、A 三点的圆为
22(1)(3)9x y -+-=，且点M 到x 轴的距离也等于圆的半径3，
故过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切． 立体几何与空间向量命题走向分析：
由于空间向量普通使用，立体几何试题变得相对“简单”了，学生在心理对立体几何的恐惧感有所减弱，但近几年立体几何试题命题的走向，考查设未知数，未知位置点的问题，给予的图形让空间直角坐标系不赋置上，预测立体几何试题的走向，还是考查未知线段的量、空间角，甚至可以考查点的未知位置问题．
辽宁理科第19题：已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，
1
2
PA AC AB ==
，N 为AB 上一点，4AB AN =，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）证明：CM SN ⊥；
（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小．
解析：由PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，可建立如图
所示空间直角坐标系A xyz -，因为1
2
PA AC AB ==，可
设2PA a =，则2AC a =，4AB a =，依题意可求出：(4,0,0)B a ，(0,2,0)C a ，(0,0,2)P a ，(2,0,)M a a ，(,0,0)N a ，(2,,0)S a a （Ⅰ）∵(2,2,)CM a a a =-，(,,0)SN a a =--，
∴2()2()00CM SN a a a a a =---+=，
∴CM SN ⊥，故CM SN ⊥；
（Ⅱ）设平面CMN 的法向量为(,,1)x y =n ， ∵(,2,0)CN a a =-，(2,2,)CM a a a =-，
∴ 00
CM CN ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即202210x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解之：
1x =-，12y =-，∴1
(1,,1)2
=--n ，设SN 与平面CMN 所成角为α，
则||
sin ||||
SN SN α=
n n 32322
a a
=
2=
4
πα=， 故SN 与平面CMN 所成角的大小为45．
全国大纲Ⅰ理科第19题：四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．
（Ⅰ）证明：2SE EB =；
（Ⅱ）求二面角A DE C --的大小．
解析：建立空间直角坐标系D xyz -（如图）
(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,2)S ，
（Ⅰ）因为E 为棱SB 上的一点，设SE EB λ=， 设平面SBC 的法向量(,,1)x y =n ， ∵(1,1,0)BC =-，(0,2,2)CS =-，
∴00
BC CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即0220x y y -+=⎧⎨-+=⎩，
解之：1x =，1y =，所以(1,1,1)=n ， ∵(1,1,2)SB =-，SE EB λ=， ∴ (1)EB λ+=(1,1,2)SB =-，112
(,,)111BE λλλ
--=+++， ∴DE DB BE =+2(
,
,
)111λλ
λλλ=+++，又∵ CE CD DE =+22(,,)111λλλλλ
--=+++
∵y 轴⊂平面CDE ，∴可设平面CDE 的法向量为(,0,1)a =m ，
∴
2011a λ
λλ+
=++，2a λ=-，所以2
(,0,1)λ
=-m ，
由平面EDC ⊥平面SBC 得，2
10λ
=-+=n m ，解之2λ=，
∴2SE EB =，即2SE EB =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，222(,,)333
DE =，
由于x 轴⊂平面ADE ，设平面ADE 的法向量为(0,,1)b =p ，
所以22
033
DE b =+
=p ，解之：(0,1,1)=-p ，由（Ⅰ）知，(1,0,1)=-m ，
设二面角A DE C --的大小为θ（90180θ<<），
|||cos |||||θ=
p m p m 1
2
=，∴120θ=，
故二面角A DE C --的大小120．
全国大纲Ⅱ理科第19题：如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC =BC ，AA 1=AB ，D 为BB 1
的中点，E 为AB 1上一点，AE =3EB 1．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1和CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB 1和CD 的夹角为45，求二面角111A AC B --的余弦值． 解析：（Ⅰ）证明：以B 为原点，分别以射线BA ，BB 1为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系B xyz -．设AB =2，由于AC =BC ，设等腰△ABC 的底边上的高为c ．则
(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，1(2,2,0)A ，1(0,2,0)B ，(1,0,)C c ，1(1,2,)C c ，因D 为BB 1的中点，(0,1,0)D ，
∵1(2,2,0)AB =-，又∵AE =3EB 1，∴1333
(,,0)422
AE AB =
=-， ∴ 13(,,0)22BE =，11
(,,0)22DE =，(1,1,)DC c =-， ∴11
1(1)0022DE DC c =⨯+⨯-+⨯=，∴DE DC ⊥，即DE DC ⊥
∵ 111
2(2)00022
DE AB =+-+=，∴ 1DE AB ⊥，即1ED AB ⊥，
故DE 为异面直线AB 1和CD 的公垂线．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(2,2,0)AB =-，(1,1,)DC c =-，
∴ 11||cos
4
||||AB DC AB DC π
=
22
222c
==+，解之：2c
∵y 轴∥平面11AA C ，∴平面11AA C 法向量可设(,0,1)x =n ，
又 1(2)AC =-，∴ 120AC x =-+=n ，得2x ，即(2=n ， 设平面11AC B 的法向量为(,,1)a b =m ，112)B C =，
因为11100
AC B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m
，即200a b a ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩
，解之：a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴
(=m ，设二面角111A AC B --的大小为θ，则
||cos ||||θ
=
n m n m =
111
A AC
B --． 数列试题命题走向分析：
由于新课标试题只有5道解答试题，数列与三角按大小年分配，数列与三角交换进行，如今年考查了数列大题，明年就可以考查2-3道数列小题，就数列命题而言，它应该与推理与证明结合比较好，可以选择递推数列，但难度不宜过大，最好是由特殊情形得到一般情形，由于新课标是把数列的要求与难度提高了，不是减弱了，应该把一阶和二阶线性递推数列落实到位，还有一次分式数列也要落实到位，请上/600055/blog.aspx 看文章《谈高考数学试题中递推数列解题模式研究》，就能可能出现递推数列解法搞明白．
全国大纲Ⅰ理科第22题：已知数列{}n a 中，11a =，11n n
a c a +=-
． （Ⅰ）设5
2c =
，12n n
b a =-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由5
2
c =
得，1525122n n n n a a a a +-=-=，则两边同加λ得，1522n n n a a a λλ+-+=+
2
52(52)
2n n a a λλ-
+=+，----①，令252λλ=-+，解之：12
λ=-或2λ=-， 代回①得，1112422n n n
a a a +-
-=，-----②，1
222n n n a a a +--=，-----③ 由②、③得，111122422n n n n a a a a ++-
-=--，则数列1
2{}2
n n a a --是等比数列，首项为12-，公比为4，
所以，11
12422
n n n a a --
=-⨯-，得n
b =111(42)23n n a -=-+-． （Ⅱ）在11
n n
a c a +=-
两边同加μ得，11
()n n n a c a c a μ
μμ+-
++=+，令1c μμ
=-+，
得 2
10c μμ++=，12c μμ+=-，121μμ=
，1μ=
，2μ=，
（i ）若2c =时，121μμ==-，1n a =，不符合12a a <； （ii ）当c =2-时，121μμ==，得
11
1111n n a a +-
=-++，数列1
{}1
n a +是等差数列，
1132(1)122n n n a -=--=+，得2132n n a n -=-2
123
n =--
-，不符合12a a <； （iii ）若2c <-时， 1112
n n n a a a μμμ+++=-，------④，2
121n n n
a a a μμμ+++=-，-----⑤ 由④、⑤得，
21111
2212122n n n n n n a a a a a a μμμμμμμμμ+++++==+++，数列12
{}n n a a μμ++是等比数列，
所以12n n a a μμ+=
+12
11μμ++22
2n μ-，解之：21222221n n n a μμμ---=-，则21
212221n n n a μμμ++-=-， 由于21μ>，242
2
2212123
22(1)(1)(1)
n n n n n a a μμμμ-+----=--，当1n =时，210a a -<，不符合12a a <； （iv ）若2c >时，由（iii ）知，2122222
1n n n a μμμ---=-，21
2
12221n n n a μμμ++-=-，
242
2
2212123
22(1)(1)(1)
n n n n n a a μμμμ-+----=--，由于210μ-<<，则10n n a a +->，由13n a +<恒成立，
由于21
211222
211lim lim n n n n n a μμμμμ++→∞→∞-==-=--，则1μ-=3≤，解10
3c ≤，
（v ）当22c -<<时，n a （2n ≥）是虚数，不符合210a a -<； 综上所述：实数c 的取值范围是10
23
c <≤
． 全国大纲Ⅱ理科第18题：已知数列{}n a 的前n 项和n S 2()3n n n =+． （Ⅰ）求lim
n
n n
a S →∞； （Ⅱ）证明：
12
2212a a ++ (2)
3n n a n
+>．
第4题图
解析：（Ⅰ）lim
n
n n
a S →∞1lim n n n n S S S -→∞-=1lim(1)n n n S S -→∞=-1lim[1]3(1)n n n →∞-=-+1
1lim(1)33n n n
→∞-
=-
+
23=； （Ⅱ）当1n =时，211
12
(11)363
1a =+=>， 当2n ≥时，122212a a ++ (32)
1212222123n a S S S S S n --+=+++ (12)
n n S S n --+
=12
2222
1111
(
)()1223S S -+-+…122211[](1)n n S S n n n -+-+- 2133n
n n S n n n +>
=> 故12
2212a a ++ (2)
3n n a n
+>（*n N ∈）． 三、2010年高考数学试题评价
1．已知集合{|||2A x x =≤，}x R ∈，{4B x x =，}x Z ∈，则A
B =（ ）
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．{0，2}
D ．{0，1，2}
命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几
年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数2
3(13)
z +=
-i i ，z 是z 的共轭复数，则z z =（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010年对复数的考查难度明显加大，增加了对
复数的平方运算和共轭复数的性质2
z z z =考查．
3．曲线2
x
y x =
+在点(1-，1)-处切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =-- D ．22y x =--
命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中，如2008年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过某点的曲线的切线问题．
4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
0(2P 2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函
数图像大致为（ ）（注意曲线画的有点误差！）
第7题图
A ．
B ．
C ．
D ．
命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考查考生识图像能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题再往下发展就是要考虑质点在x 轴和y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了． 5．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是（ ） A ．1q ，3q B ．2q ，3q C ．1q ，4q D ．2q ，4q
命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与”（一假则假，都真则真）、“或”（一真则真，都假则假）、“非”（真假相对）运算性质，事实还考查了函数()()f x f x --是奇函数，
()()f x f x +-是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07年特称命题的否定，08
年的充要条件，09年以三角函数为背景的命题真假判断，2010年考查“与”、“或”、“非”运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．
6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数学期望公式()E a b aE b ξξ+=+．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就设计了这个小题，这道应是常见的基础题． 7．如果执行如图所示的框图，输入N =5， 则输出的数等于（ ）
A ．
54 B ．45 C ．65 D ．5
6
命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一
组数列是：12，23，3
4
，…关键要找到终止条件．这几年一
直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图．
8．设偶函数()f x 满足()38f x x =-（0x ≥），则(){}|20x f x ->=（ ） A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x > D ．{|2x x <-或2}x >
命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是比较简单的．这几年考查函数的图像与性质的题目不多，考生复习中容易忽视这方面的内容． 9．若4
cos 5
α=-，α是第三象限的角，则
1tan 21tan
2
αα
+-=（ ）
A ．12-
B ．
1
2
C ．2
D ．2-
命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的正切公式的逆向思维和半角的公式，应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．
10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．2a π
B ．273a π
C ．211
3
a π D ．25a π
命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多，考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题．
11．已知函数()|lg |
,01016,102
x x f x x x <≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()f a ()f b =()f c =，
则abc 的取值范围是（ ）
A ．(1，10)
B ．(5，6)
C ．(10，12)
D ．(20，24) 命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的找出与利用，考查估算与预测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意． 12．已知双曲线
E 的中心为原点，()3,0
F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中心为(12,15)N --，则E 的方程为（ ）
A ．22136x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22163x y -=
D ．22
154
x y -=
命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用及待定系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．
13．设()y f x =为区间[0，1]上的连续函数，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近。