激光原理第三章习题

思考练习题3

1．腔长为0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率0ν＝5.85⨯l014Hz ，荧光线宽ν∆＝6⨯l08 Hz ，问它可能存在几个纵模?相应的q 值为多少？ (设μ=1)

答：Hz L c

q 88

1035

.0121032⨯=⨯⨯⨯==

∆μν， 210

31068

8

=⨯⨯=∆∆=q n νν，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的q 值分别为： 68

14

1095.110

31085.522⨯=⨯⨯=⨯=⇒=νμμνc L q L qc ，q ＋1=1950001，q －1＝1949999

2．He —Ne 激光器的中心频率0ν＝4.74×1014Hz ，荧光线宽ν∆＝1.5⨯l09Hz 。今腔长L ＝lm ，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？

答：Hz L c

q 8

8105.11121032⨯=⨯⨯⨯==∆μν，10105.1105.18

9=⨯⨯=∆∆=q n νν 即可能输出的纵模数为10个，要想获得单纵模输出，则：

m c L L

c

q 2.010

5.110329

8

=⨯⨯=∆<∴=

∆<∆νμμνν 故腔长最长不得大于m 2.0。

3．（1）试求出方形镜对称共焦腔镜面上30TEM 模的节线位置的表达式(腔长L 、光波波长λ、方形镜边长a )（2）这些节线是否等间距？

答：（1）πλλπ43,02128)1()(0

)(X F 2133

33

32

332

2

L x x L

x

X X X e dX d e

X H e

X H X X

X ±==⇒⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎪⎬⎫=-=-==--

）＝（

（2）这些节距是等间距的

4．连续工作的CO 2激光器输出功率为50W ，聚焦后的基模有效截面直径2w ＝50μm ，计算(1)每平方厘米平均功率(50W 为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W ／cm 2)及氧乙炔焰(103W ／cm 2)比较，分别为它们的多少倍？ 答：（1）每平方厘米的平均功率为：

262

42

/10546.2)

1025(50

W

50cm W ⨯=⨯=

-ππω

（2）6.25410

10546.24

6

=⨯；是氩弧焊的6.254倍。 3

8

610546.21010546.2⨯=⨯；是氧乙炔焰的2546倍。

5．(a)计算腔长为1m 的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝6328Å，10km 处的光斑面积多大。(b)有一普通探照灯，设发散角为2︒，则1km 远处的光斑面积多大？

答：（1）基横模的远场发散角rad L 310

10269.110632822222--⨯=⨯⨯==π

πλθ

（2）10km 处的光斑尺寸m L z L z 347.6]1041[2106328])2(1[2810

210

=⨯+⨯=+=-=π

πλω

10km 处的光斑面积2

2

2

5572.126347.6m S =⨯==ππω （3）1km 处的光斑尺寸m tg r o

455.1711000=⨯=

1km 处的光斑面积2

2

2

1711.957455.17m r S =⨯=⨯=ππ

6．激光的远场发散角θ(半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角θ衍(半角)＝1.22λ/d 。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。 试计算腔长为30cm 的氦氖激光器，所发波长λ＝6328Å的远场发散角和以放电管直径d ＝2mm 为输出孔的衍射极限角。

答：（1）远场发散角rad L 3

2

10101588.110

3010632822---⨯=⨯⨯⨯⨯==ππλθ （2）衍射极限角rad d 4

3

101086.310

210632822.122.1---⨯=⨯⨯⨯==λθ

7．一共焦腔(对称)L ＝0.40m ，λ＝0.6328μm ，束腰半径mm w 2.00=，求离腰56cm 处的光束有效截面半径。 答：mm z z 6.0))

102(56.0106328(1102.0)(122

4103

220056

.0=⨯⨯⨯⨯+⨯=+=---=ππωλωω

8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。 答：非共焦腔的谐振频率表达式为：()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++=

-211

cos 112g g n m q L c mnq πμν

！）简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非

)(cos 211为整数k k

g g π

=

-时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的横模可以

存在一定的简并，只要m ＋n 不变，谐振频率就相同。 2）纵模间隔：L

c μν2＝

纵∆，与共焦腔是一致的；

3）横模间隔：L

g g c πμν2cos 2

11－横＝

⋅∆，不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面的曲率

半径有关，这与共焦腔是不同的。

9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145μm ，腔长L ＝1m ，腔镜曲率半径R 1=1.5m ，R 2=4m 。试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。 答：（1）束腰半径

mm L R R L R R L R L R L 348666.0]5

.35.45.1)105145.0[(])2())()(()[(4

1

2

2641221212120=⨯⨯=-+-+--=-ππλω（2）束腰位置765.33)2()(2121==-+-=

L R R L R L z m ；m z L z 7

1

76112=-=-=

（3）两镜面上的光斑尺寸分别为：

mm L R R L R L L R R L s 532596.0]5.45.0325.2[105145.0]))(()([4

1

641

2112211=⨯⨯⨯⨯=-+--=-ππλω

mm L R R L R L L R R L s 355064.0]5

.435.016[105145.0]))(()([4

164

121212

22=⨯⨯⨯⨯=-+--=-ππλω

（4）m L

R R L R R L R L R L f 7

2

.55.36.25.35.435.02)

)()((212121==⨯⨯=

-+-+--=

10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6μm ，两反射镜间距L ＝2m ，如选择凹面镜曲率半径R =L ，试求镜面上光斑尺寸。若保持L 不变，选择L R >>，并使镜面上的光斑尺寸

s w ＝0.3cm ，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？

答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：

mm L s s 5977.22106.10621=⨯⨯===-π

πλωω

（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是L R R R >>==21，根