高中数列知识大总结(绝对全)

第一课时 数列

知识要点

数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==

++++=n

i i

n n a

a a a a S 1

321Λ

2．⎩⎨

⎧≥-==-2

1

1

1n S S n S a n n n

热身

1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) 2．数列{}n a 的通项公式为 n n a n

2832-=,则数列各项中最小项是( )

3．数列{}n a 的前n 项和142

+-=n n S n ,，则=n a

典例精析

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…

⑵Λ,63

8

,356,154,32--

点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用⎩⎨

⎧≥-==-)

2()

1(1

1n S S n S a n n n

求数列通项

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.

⑴23-=n

n S ⑵)0()2(8

1

2>+=n n n a a S

点拨：本例的关键是应用⎩⎨

⎧≥-==-)

2()

1(1

1n S S n S a n n n

求数列的通项，特别要注意验证1a 的值是否满足

"2"≥n 的一般性通项公式。

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴1

41,2

1211

-+

==

+n a a a n n

(2),0,11>=n a a 0)1(12

2

1=⋅+-+++n n n n a a na a n ，

⑶12

1

,

111+=

=+n n a a a

点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若

),(1

n f a a n

n =+求n a 用累乘法，

若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

总结提高

1． 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一

2． 由n S 求n a 时，要分n =1和2≥n 两种情况

3． 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最

小”等问题十分有效。

4． 给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用n n n a S S =--1 （2≥n ）转化为n a 的

递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a 。

课堂演练

1． 若数列{}n a 的前n 项的32

3

-=

n n

a S ，那么这个数列的通项公式为（ ） 2．已知数列{}n a 满足01=a ，1

331+-=

+n n n a a a （*

∈N n ），则=20a （ ）

3.已知数列{}n a 满足,11=a

)2(,311≥+=--n a a n n n ，

⑴32a a 和求

⑵证明：2

1

3-=n n a

１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ ） ２.已知数列{}n a 中21=a ，

），（*∈+=+N n a a n n 131则4a 的值为（ ）

3设1

212111++++++=

n n n a n

Λ，(*

∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( ) 1． 若数列{}n a 满足：⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤-<≤=+)

121

(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，

7

6

1=a ，则20a 的值为（ ）

二、填空题

1．已知数列{}n a 中，3221==a a ，，n n n a a a 2312-=++,=7a

2．已知{}n a 中，3

1

1

=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求n a

6.2等差数列

知识要点

1． 等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d 表示。 2．递推关系与通项公式

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m

n

n n m n n n n --=--=

--=-+=-+==-+1;

)1()()1(1

111变式：推广：通项公式：递推关系：

由此联想到点),(n a n 所在直线的斜率。

为常数）

即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),

(1+==-+=

),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成

等差数列的充要条件。 ３．等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

c

a b

+=

；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 ４．前n 项和公式

2)(1n a a S n n +=

； 2

)1(1d

n n na S n -+= 变式：

1

2);2

()1(2)1(21

21211-=-⋅-+=-+=+++==+-n S a d

n a d n a n

a a a n S a a n n n n

n n Λ

)

,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn

An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+=

是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*

∈N q p n m 其中

⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。