浅论生成函数在组合数学中的应用

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浅论生成函数在组合数学中的应用
作者：魏建刚
来源：《文理导航》2017年第23期
【摘要】发生函数是组合数学中许多问题的首要解决方法，他可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。

本文主要研究生成函数在组合计数、整数拆分、递推问题和恒等式证明等问题中的应用，从而体现生成函数在组合数学中的作用。

【关键词】组合函数；数学；应用
引言
所谓生成函数也就是母函数，又被称为发生函数，它是链接离散函数和连续函数的结合点，是组合数学中许多问题的首要解决方法。

可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了的为数学中的许多问题提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。

1.生成函数在组合计数中的应用
生成函数作为在组合计数学习中极其重要的一个工具，在处理某些相关问题时运用生成函数，往往会使问题简单明了。

例1.现有1分2分5分邮票，邮票可重复使用，则能贴出那些面值的邮票？每种面值有多少种贴法？
解：a 把表示为用1分2分5分邮票贴出面值为n的有票的不同贴法，则我们可以得到一个数列{a }的生成函数f（x）=∑n≥0anxn=（1+x+x2+x3+…）（1+x2+x4+…）（1+x5
+x10+…）
=1+x+2x2+2x3+3x4+4x5+…
根据生成函数展开式可知
x表示贴出面值为1分的方案有1种：1分
2x 表示贴出面值为2分的方案有2种：1分+1分，2分
2x 表示贴出面值为3分的方案有2种：1分+1分+1分，2分+1分。