数据包络分析经典PPT

划的Charnes－Cooper变换（称为 C2－
变换）:
1 t T 0, v x0
T
t v,
t u,
max y0 h0 T T x j y j 0, j 1, 2, , n, ( PC 2 R ) T x0 1, 0, 0.


其中 X=( x1 , x2 , … , xn )T , Y=( y1 , y2 , …, ym )T，
n s K E U E V E , 为闭凸锥. ,
m
利用C2变换，化为具有锥结构的DEA模型
max T y 0
X Y K,
T T T
（PC2WH）
x0 1, V , U .
y j j y , j 0 , j 1 , 2 , , n j 1
n
4. 锥比率的DEA模型C2WH(1987)
C2R模型之下的DEA有效概念与多目标 规划的Pareto解等价 . DEA模型C2R没能体现决策者的偏好.
早在1974年P .L .Yu就给出了多目标的 非支配解(Nondominated Solution）的概 念，已将多目标的Pareto解推广到能体现 决策者偏好的非支配解.
审视
1978年：对当第一个DEA模型 C2R,认为是一种关于效率评价的 新方法．
2004年 (二十六年之后): DEA已 经形成了一个数学、经济学、管 理科学交叉研究的新领域．
在DEA领域，在以下几个方面做了一 系列奠基性的工作：
• （ⅰ）完成大量应用的实例；
• （ⅱ）DEA模型的扩充和完善 ．例如, DEA模 型BC2，FG和ST；加法模型；Log－型的DEA 模型；带偏好的锥比率的DEA模型；具有无穷 多个DMU的半无限规划的DEA模型；随机DEA 模型；逆DEA模型；等等.
n T x, y | x j j x , j 1 n n
• 如果生产可能集定义为：所有满足公理1， 公理2和公理3的最小者，则得到DEA模 型BC2；
• 如果生产可能集定义为：所有满足公理1， 公理2，公理3和公理5的最小者，则得到 DEA模型FG；
• 如果生产可能集定义为：所有满足公理1， 公理2，公理3和公理6的最小者，则得到 DEA模型ST。
我们引进三个取值为０或１的参数δ 1,δ 2,δ 3时， 生产可能集Ｔ有如下的形式
Charnes 对生产可能集 T,引入了如下的一些公理：
公理1（平凡公理） :
(x j , y j ) T , j 1 , 2 , , n
公理2（凸性公理）:集合T为凸集. 公理3（无效性公理）若
ˆx, y ˆy x, y T , x
则
ˆ,y ˆ) T (x
公理4 （锥性公理）:集合T为锥.
DEA及其经济背景
魏权龄 中国人民大学数学系
审视 数据包络分析（ DEA) ）
从数学和经济学两方面审视数据包络分 析．
Data Envelopment Analysis （ 简称 DEA） 1978年 A. Charens, W. W. Cooper和 E.Rhodes等人首先给出的． 第一个DEA模型C2R.
• 1990年，L. M. Seiford和R. M. Thrall 给 出了ST模型．DMU是技术有效，同时， 在规模上或为规模收益不变或为规模收益 递增． 公理5（压缩性公理）若 x , y
公理6（扩张性公理）若 x , y T , 1 , 则 ( x , y) T ．
分式规划(其中x0 = xj0 ,y0 = yj0 , 1≤j0≤n．
u y0 max T h0 v x 0 T u yj 1, j 1,2,, n, T v xj u 0, v 0, u 0, v 0.
T
用1962年Charnes和Cooper对于分式规
利用（DC2R）判断DMU的DEA有效性时 也不直接．对于DEA模型（DC2R）， Charnes和Cooper给出了具有非阿基米 德无穷小量的DEA模型．
此后，人们又发现用“两步法”判断 DMU的弱DEA有效性和DEA有效性（即 源于Charnes等人的目标规划形式的“加 法模型”．
同时,人们又研究了DEA模型的计算稳 定性和灵敏度分析,等等. DEA软件研制. 至此，DEA有效性的判别和计算已经 完成．
如果用（DC2R）模型来判断DEA有效性，只有 DMU-2为DEA有效．
可见，DMU－j0在C2R模型之下为DEA有效， DMU－j0对应的生产状态（x0,y0）既为技术有 效，也为规模有效．
7 ． DEA模型的扩充
• DEA模型的扩充：可以源于数学上的考虑．然 而，源于经济背景的研究所得出的数学模型似 乎更直接． • 1984年R. D. Banker，Charens和Cooper给出 了DEA模型BC2．DEA有效是技术有效的 ． • 1985年R. Färe和S. Grosskopf 给出了DEA模 型FG.DEA有效是技术有效的，同时，在规模 收益上或为规模收益不变或为规模收益递减．
“规模有效”：当 x E 时，经济学中的 “边际报酬递减规律”是指：生产函数的一阶 导数表现为先增后减的规律（或函数先为凸， 后为凹）．所谓“规模有效”，是指投入量x既 不偏大，也不过小，是介于规模收益由递增 （递增）到递减（递减）之间的一种状态（即 “规模收益不变”的最佳状态）．
1
Y
。DMU -3 。 DMU -2 。DMU-1 0 。DMU4 。 TC2R x
n
其中
n T x, y | x j j x , j 1
定理 DMU－j0为（弱）DEA有效的充 分必要条件是：(x0 ,y0)为多目标规划（Ｖ Ｐ）的（弱）Pareto解，其中
VP
并且
x , yT V min x , y
n T x, y | x j j x , j 1
而相应的Farrell的有效性度量为
Fi ( y, x) 1 / Di ( y, x)
注意: • Shephard从未用线性规划模型直接估计 距离函数． • 同样,Farrell也没有在他1957年的文章中 将他的效率指数度量用一个线性规划模型 实现． • 由Charnes和Cooper等人给出的DEA模 型C2R,是首次用线性规划直接估计1970 年由 Shephard给出的输入距离函数.
3.（弱）DEA有效与（弱）Pareto最 优的等价性(1985)
设ω0,μ0为（PC2R）的最优解。若DMU －j0为弱DEA有效，则(x0 ,y0)为下面线性 加权和问题的最优解
( x , y )T
min ( 0T x 0T y)
y j j y , j 0 , j 1 , 2 , , n j 1
利用线性规划的对偶定理和紧松定理，可以得 到关于DEA有效的等价定义．
DEA有效: 若（DC2R）的任意最优
解θ0 ,λ0j, j = 1,2, , n, 都满足
0 1,
0 0 x j j x0 , j 1 n 0 y j j y0 , j 1 n
2. DEA有效性的判别(计算 )
若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最 小者，则T有如下的唯一表示形式
n T x, y | x j j x , j 1
y y , 0 , j 1 , 2 , , n j j j j 1
n
=
TC 2 R
于是对偶线性规划（DC2R）可改写为
x, y TC WH
2
其中生产可能集
TC2WH
x , y | x , y X , Y V
*
, U , K
*

*

5. DEA模型C2R与Shephard输入 距离函数之间的关系
• 1970年由R. W. Shephard给出的输入距 离函数 . • 也可以将它看做1957年由M. T. Farrell 对 单输入/输出的有效性度量方法推广到多 输入/多输出的情况.
• • (ⅲ) DEA模型和方法的经济背景和管理背景研 究； (ⅳ) 进行DEA模型的计算研究和DEA软件的 研制；
• （ⅴ） DEA所依据的数学理论研究，
1. 第一个DEA模型C2R
1
…
2
…
…
…
…
n
xn
x1 x 2
y1 y 2
…
…
yn
…
评价DMU－j0的DEA模型（C2R）为分式规划 （h0为DMU－j0的效率指数）：
min h0 ( DC 2 R ) (x0 , y 0 ) TC 2 R
可见, C2R模型之下的效率指数h0 与Shephard 的距离函数互为倒数.
也即（DC2R）模型与Farrell 1957年的效 率度量相对应． 对于DEA模型（PC2R），R. Färe等人 于2000年曾有一篇文章指出：将 Shephard 的输出定价模型，经过一些计 算和推导是与（PC2R）的形式类似．
令生产可能集T和产出水平y之下的投 入集分别为
令生产可能集 T 和产出水平 y 之下的投 入集分别为 T {( x, y) | 投入x，能产出y}
L( y) {x | ( x, y) T }
Shephard在关于生产可能集T某些假设条 件之下,定义了输入距离函数
Di ( y, x) sup {z | ( x / z, y) L( y)}
1989年Charnes，Cooper，Wei和Huang推 广了C2R模型，得到体现决策者偏好的、被称 为“锥比例的C2WH模型”.