参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt

2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
程.
解
dy dy dt
ln
2
t
t
2
ln
t
1 t
ln
2
t
2
ln
t
.
dx dx
ln t t 1
ln t 1
dt
t
所以切线斜率
k1
dy dx
te
1 2 11
3. 2
法线斜率
k2
1 k1
2. 3
当t=e时，x=e，y=e.
故切线方程为
y e 3 (x e), 即 y 3 x e .
2
22
法线方程为
y
2
,
或
d2 dx
f
2
,
或y", 或f"(x) 等，即
d2 y dx 2
d (dy), dx dx
d2 f dx 2
d (df ), dx dx
y" ( y')',
f"(x) f ( f'(x))' .
类似地，称二阶导数的导数为三阶导数，三阶导
数的导数为四阶导数， ，(n－1)阶导数的导数为n阶
tan t.
例22
x et cos t,
设
y
et
sin
tຫໍສະໝຸດ Baidu
,
求 dy . dx
dy
解
dy dx
dt dx
dt
e
et sin t cos t
t e
et t
cos t ( sin
t
)
sin t cos t . cos t sin t
例23
求曲线
x t ln t,
y
ln
2
t
在t=e处的切线方程和法线方
三阶等导数，从中归纳出n阶导数的表达式.因此，求
n阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共有的规律.
y cos x sin( x π), 2
y cos( x π) sin( x π π) sin( x 2π),
2
22
2
y cos( x 2π) sin( x 2π π) sin( x 3π),
y" e2x 2(2x3 3x2 ) e2x (6x2 6x) e2x (4x3 12x2 6x) .
例3 y x x2 1，求y".
y' x2 1 x 1 2x 2x2 1 .
2 x2 1
x2 1
4x x2 1 (2x2 1) 1 2x
y"
2 x2 1 x2 1
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地， 称 f (x)为一阶导数.
若y=f(x)的n阶导数 f (n) (x) 存在，则称y=f(x)n阶可 导，此时意味着f (x), f "(x)，，f (n1) (x) 都存在.
参数方程表示的函数的求导、高阶导数
一、由参数方程表示的函数的 求导法则
二、高阶导数
一、参数方程表示的函数的求导法则
若将由参数方程
x y
(t) (t)
所确定的函数看成复合函
数：x (t),t 1(x) ，则由复合函数的求导法则，有
dy dy dt . dx dt dx
注意到反函数的求导法则，有
dt dx
1 dx
，所以
dy
dt
dy dx
dy dt
1 dx
dt dx
(t) (t )
((t) 0).
dt dt
这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.
x a cos3 t,
例21
设
y
a
sin
3
t,
求 dy . dx
dy
解
dy dx
dt dx
dt
a a
3sin 2 t cos t 3cos2 t(sin t)
4x(x2 1) x(2x2 (x2 1)3/ 2
1)
(
2x3 3x x2 1)3/ 2
.
例4 设 y a0 xn a1xn1 a2 xn2 an ,求y(n) .
解 y' na0 xn1 (n 1)a1xn2 (n 2)a2 xn3 an1,
y" n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3 (n 2)(n 3)a2 xn4 2an2 ,
n 4k 3,
n 4(k 1),
同理 (cos x)(n) cos( x n π). 2
例6 设 y ln(1 2x),求y(n).
解 y' 1 2, 1 2x
y"
1 (1 2x)2
2
2
22
1 (1 2x)2
,
y
22
(1)(2) (1 2x)3
2
(1)
2
23
2!
(1
1 2
x)3
,
y n(n 1)(n 2)a0 xn3 (n 1)(n 2)(n 3)a1xn4 (n 2)(n 3)(n 4)a2 xn5 3 2an3 ,
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
y (4)
(1) 2
23
2! (1
(3) 2x)
4
2
(1)3
24
3! (1
例1 设 y x arctan x，求y" .
解
y'
arctan
x
x 1 x2
y"
1
1 x
2
1
x2 (1
x2x x2 )2
1 1 x2 1 x2 (1 x2 )2
(1
2 x2
)2
.
例2 设 y x3e2x，求y . 解 y' 3x2e2x x3 e2x 2 e2x (2x3 3x2 ) .
y e 2 (x e), 即 y 2 x 5 e .
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二、由参数方程确定的函数的求导法则
在变速直线运动中,位移函数s=s(t)对时间t的导数
为速度函数v=v(t)，即v ds ，同样可以得到速度函数
dt v=v(t)对时间t的导数为加速度a=a(t)，即
a
dv dt
.从而
可以得到