高中数学-定积分与微积分基本定理学案

I 上每点都可微，则称 f ( x) 为 I 上的可微函数 . 函数 y f ( x) 在 I 上的微分记作
dy f ( x) x .
2．微积分基本定理：如果 F ( x) f ( x) ，且 f (x) 在 [ a,b] 上可积 . 则
b
f ( x) dx F (b) F ( a) . 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数 .
高中数学 - 定积分与微积分基本定理学案 一、知识导学
1．可微： 若函数 y f ( x) 在 x0 的增量 x 可以表示为 x 的线性函数 A x （ A 是常数） 与较
x 高阶的无穷小量之和 : y A x o( x) （ 1） , 则称函数 f 在点 x0 可微，（ 1）中的 A x 称为函数 f 在点 x0 的微分，记作 dy x x0 A x 或 df ( x) x x0 A x . 函数 f (x) 在点 x0 可微 的充要条件是函数 f ( x) 在 x0 可导，这时（ 1）式中的 A 等于 f ( x0 ) . 若函数 y f ( x) 在区间
由微积分基本定理的逆运用可知：上式 所以原式成立，即证。
b
f (x)dx
a
注： 该式可用来求分布在 x 轴两侧的图形的积分。
[ 例 3] 根据等式求常数 a 的值。
1） a x2 dx 18(a 0)
2
a dx
）
3
a
ex
分析 ：利用微积分基本定理，求出原函数代入 a 求解
解： 1） a x2 dx a
况下选那个不带常数的。因为
b
f (x)dx
a
[ F(x)
c]
b a
F
(
x)
b a
F (b)
F (a) .
3．利用定积分来求面积时，特别是位于 x 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，
然后求两部分的代数和 .
三 、经典例题导讲
[ 例 1] 求曲线 y sin x 与 x 轴在区间 [ 0,2 ] 上所围成阴影部分的面积 S.
1/4
错解： 分两部分，在 [ 0, ] sin xdx 2 ，在 ,2 0
2+（ -2 ） =0。
2
sin x
2 ，因此所求面积 S 为
分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而
是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。
2
正解： S sin xdx
sin xdx 2 2 4
1
3
1t2
6t)
4 1
1 31
2
2
答：位移为 311 m 。 2
四、典型习题导练
31 1. dx ( )
2x
11
A.
B.
32
ln 3 ln 2 C. ln 2 ln 3 D.
2
2． cos xdx （ ） 0
11 23
A．0
B.2
C.-2
D.4
1
3． x(a x)dx 2 ，则 a
。
0
3/4
1
1
4．利用概念求极限：
1) b
答：电场力对它做的功为 kq( 1 1) 。 ab
[ 例 6] 一质点以速度 V (t ) t 2 t 6( m / s) 沿直线运动。求在时间间隔
(1,4) 上的位移。
分析： 变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。
解： S
4
v( t ) dt
1
4 (t 2 t 6)dt ( 1t 3
x3 a a 3 3a 3
( a)3 3
18
a3
a dx
2）
ex
ln
x
a e
ln a
ln e
3
a
[ 例 4] 某产品生产 x 个单位时的边际收入 R ( x)
e4 a e4 200 x ( x 0)
100
（１）
求生产了 50 个单位时的总收入。
（２）
如果已生产了 100 个单位时，求再生产 100 个单位时的总收入。
200
200
x
R (x) dx
(200
)dx 19850
100
100
100
答：生 产 50 个 单 位 时 的 总 收 入 为 99875 ； 生 产 了 100 个 单 位 时 后 ， 再 生 产
100 个 单 位 时 的 总 收 入 为 19850.
[ 例 5] 一个带电量为 Q 的电荷放在 x 轴上原点处， 形成电场， 求单位正电荷在电场力作用下沿
lim n
n
(n
1) 2
( n 2) 2
5．求下列定积分；
1 ( n n) 2
2
（1） ( x
1
x ) dx
1
（ 2） 2 cos dx
2
6．写出下面函数在给定区间上的总和
n
Sn
f ( xi ) x 及 S10 , S100 , S1000 的表达式
i1
f ( x) x 3
x [ 0,1]
4/4
a
由于 [ F (x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f (x) 的原函数，其中 c 为常数 .
二、疑难知识导析
1 . 定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数
学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用
.
1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者
0
[ 例 2] 用微积分基本定理证明
b
c
f ( x)dx f (x)dx
a
a
b
f (x)dx （ a c b ）
c
分析： 即寻找 f (x) 的原函数代入进行运算。
c
b
解； 设 F (x) f (x) ，则 f (x)dx f ( x) dx
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a
c
= F (c) F (a) F (b) F (c) = F (b) F (a)
分析： 总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收
入函数 R( x) 和边际收入 R ( x) 的关系可得
50
（1）生产 50 个单位时的总收入为 R(50)
R (x)dx
0
2/4
50
x
= (200
)dx =99875
0
100
（2） 已生产了 100 个单位时后，再生产 100 个单位时的总收入为
趋近
于 0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于
0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区
间等份成 n 份，这样只要
1
2 其中的使
n
0 就可以了 .
2）对每个小区间内 i 的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点
.
3）求极限的时候，不是 n
，而是
0.
2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情
x 轴方向从 x a 处移动到 x b 处时电场力对它所作的功。
分析： 变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。
解： 单位正电荷放在电场中，距原点
q x 处，电荷对它的作用力为 F k x 2
在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可
知
W
b
k
a
q x2
dx
kq( 1 a