可分离变量的方程

例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c, 即M ce t ,
1 是方程的通解 可以验证 y 2 x c
注 y=0
也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx
这类方程的特点是 经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和 其微分
衰变规律
代入M
t 0
M M 0 e t
M 0 得 M 0 ce 0 C ,
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x( t )% 在 [t , t dt ]内,
也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程
dy P( x, y) dx Q( x , y )
dy Q( x , y ) dx P( x, y)
考虑方程
很重要的观点
2
dy 2 x 或写成 dy 2 xdx dx
两边积分得
y x c
但并不是所有的一阶方程都能象上面 那样采取两边积分的方法来求它的通解
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
dx 1 ( x 0.03), Βιβλιοθήκη Baidu x 0.03 Ce dt 6
x |t 6 0.03 0.07e 1 0.056,
6分钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到 0.056%.
1 t 6
,
1 t 6
x |t 0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e
,
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
注
分离变量时，注意检查是否有漏解，特别 是写成对称形式的方程（因为要同除须保证 分母不等于0）
思考题
思考题解答
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y dy x sin dx , 2 sin sin 0, y dx 2 2 2 2 sin 2 x y y ln csc cot 2 cos C , 为所求解. 2 2 2
1 、 cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0 ； 4 x 2 、 cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒 2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
练 习 题
一、求下列微分方程的通解 : 1 、 sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2 、 (e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 2 dy x 3 0. 3 、 ( y 1) dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :
作 业
课本338页
A: 1 (2)(3)(5)(7), 2 (3)(5), 3
B: 8 有兴趣的同学可以做一下B: 9
解法 设函数 g ( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G( y ) 和F ( x ) 是依次为 g( y )和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
求解步骤
分离变量 两边积分
dy 如 2 xy 2 困难就在于方程的右端含有未知函数 dx
积分
2 2 xy dx 求不出来
为了解决这个问题 方程的两边同乘以
使方程变为
1 2 dy 2 xdx y
1 2 dx y
这样变量 x , y 已经分离在等式的两端
1 两边积分得 x 2 c 或 y
1 y 2 x c
解 令u xy ,
则 du xdy ydx , du ydx f ( u) ydx g( u) x 0, x u [ f ( u) g( u)] dx g( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g( u)] g ( u) 通解为 ln | x | du C . u[ f ( u) g( u)]
练习题答案
一、1 、 tan x tan y C ； 2 、(e x 1)(e y 1) C ； 3 、 4( y 1) 3 3 x 4 C . 二、1 、 2 cos y cos x ； 2 、 e x 1 2 2 cos y . 三、 v 269.3 厘米/ 秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 , y 轴 指向对 k h 1 岸, 则所求航线为 x ( y 2 y 3 ) . a 2 3
得到隐式通解或通积分
二、典型例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
ln y x 2 C1
y ce 为所求通解.
x2
例2 求方程 f ( xy ) ydx g( xy ) xdy 0 通解.
特殊类型的一阶方程的求解
一阶方程的一般形式为 F ( x , y, y) 0
本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
dy f ( x, y) dx
的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求 出解的有限表达式 所以本节只讨论 几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
P ( x, y )dx Q( x, y ) 0 它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程