Chapter2 传感器的一般特性分析(动态)
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n
1
e n t 1
2
sin(d t 2 ) 2 arctan
电气信息学院
1 2
y (t ) 1 e
Leabharlann Baidu n t
(cosd t
1 2
sin d t ) d n 1 2 sin d t )
电气信息学院
a s a
n
s n1 a1s a0 Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X (s) n n 1 定义传递函数：
Y ( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an1 s n1 a1 s a0
惯性力+阻尼力+弹簧力=外力
d 2 y (t ) dy (t ) m C ky(t ) kx(t ) 2 dt dt
m d 2 y (t ) C dy (t ) y (t ) x(t ) 2 k dt k dt
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令
2 mk C ' （临界阻尼）
C C'
（阻尼比）
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2. 二阶传感器 通式：
d 2 y (t ) dy (t ) a2 a1 a0 y (t ) b0 x(t ) 2 dt dt
a2 d 2 y (t ) a1 dy (t ) 归一化： y (t ) x(t ) 2 a0 dt a0 dt
以机械系统的单自由度质量、弹簧、阻尼系统为例
对稳定系统n>m n 系统微分方程阶数，称n阶系统 n=1 一阶系统 n=2 二阶系统
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H(s)的特点： 1. H(s)与输入无关，不因x(t) 而异，只反应 系统的特性； 2. H(s)只反应系统的响应特性，而和具体的 物理结构无关； 3. H(s)虽与输入无关，但对于任一具体的输 入x(t)都确定地给出输出y(t)。
2) 正弦输入 幅频特性：幅值和频率的关系 相频特性：相位和频率的关系 指标： 带宽——幅值比不超过某一规定值的频率 范围。
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动态特性的三种描述方法： 传递函数 动态特性的复频域描述
频率响应函数 动态特性的频域描述
脉冲响应函数 动态特性的时域描述
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三、传递函数
y(t ) n e n t (cosd t e
n t
1
2
(d sin d t
n t
1
2
d cosd t ) sin d t ) n 1 2 cosd t )
n e
(t ) f (t )dt f (0) (t t0 ) f (t )dt f (t0 )
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• 证明
at F (s) f (t ) e sin t 2 2 (s a) xi (t ), xi ( s ) 1,0 1 n n x0 ( s ) 2 xi ( s) 2 s 2 n s n 1 2 ( s n ) 2 (n 1 2 ) 2 n t 2 x0 (t ) h(t ) e sin n 1 t 1 2
A( ) H ( j ) [1 ( 1
2 2 ) ] [2 ( )]2 n n
相频特性
2 ) n ( ) arctg 1 ( )2 n
2 (
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• 题目：
在某二阶传感器的频率测试中发现，谐震发 生在216HZ处，并得到最大幅值比为1.4,试估 算 , 0 解：最大幅值比为1.4，得出： 0.4
阻尼力+弹性力=外力
dy (t ) C ky(t ) f (t ) dt
C dy (t ) y (t ) x(t ) k dt
令 则
c k
H ( s) 1 s 1
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相似系统——具有相同输出-输入关系的微分 方程的系统。 相似量——在微分方程中占有相同位置的量。 这个理论称为相似理论。 相似系统对实验的作用： 1. 机电模拟 2. 模型实验
n
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一、单位阶跃响应 输入 u(t)=
0 t<0 1 t0
u (t ) (t )dt
0
单位阶跃输入下的输出就是系统脉冲响应的积分
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1) 一阶系统在u(t)激励下，稳态输出误差理论 上为零 y(t)=1-e-t/ 理论上，t ，y(t) 1，达到稳态 值，动态误差为0； 实际上，t=4，动态误差小于2%， 可认为已达到稳态。
上升时间trs 输出指示值从最终稳定值的5%或10%变
到最终稳定值的95%或90%所需要的时间。 响应时间tst 即时间常数，指输入量开始起作用 到输出指示值进入稳定值所给定的范围内所需的时间。 过调量C 输出第一次达到稳定值后又超出稳定值而出 现的最大偏差。
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Y (s) Y1 (s) Y2 (s)
H ( s) Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) H1 ( s) H 2 ( s) X ( s) X ( s) X ( s)
n
若n个环节
H ( s) H i ( s)
i 1
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§1-3 传感器动态特性分析
a0y=b0x
（零阶环节）
a1
dy a0 y b0 x dt
（一阶环节）
d2y dy a2 2 a1 a0 y b0 x （二阶环节） dt dt
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一、传感器的传递函数及其频率响应 1. 一阶传感器 通式： a dy(t ) a y(t ) b x(t )
1
dt
Y ( s) 1 H ( s) X ( s) s 1
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例2：简单的RC电路（电系统）
RC de y dt e y ex
dy (t ) RC y (t ) x(t ) dt
设RC=
1 H ( s) s 1
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例3：无质量弹簧阻尼系统（机械系统）
时间响应 动态测试中的两个重要特征 频率响应 它们也是动态特性的主要内容
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二、传感器动态特性的研究方法及其指标
1. 研究方法：
时域瞬态响应法：脉冲、阶跃、斜波等输入的响应特性 频域频率响应法：正弦输入的响应特性
2. 指标： 1) 阶跃输入时表征传感器动态特性的指标
（一）、传递函数的定义 单边拉普拉斯变换对
F ( s)
0
f (t )e st dt
记作 F(s)=L[f(t)]
st
1 f (t ) j 2
j
j
F ( s)e dt
f(t)=L-1[F(s)]
其中S=+j 复频率
微分性质: L[f’(t)]=sF(s)-f(0) 当初始条件为零时 L[fn(t)]=SnF(s)
两边取拉氏变换：sY(s)+Y(s)=X(s)
1 H ( s) s 1
H ( j ) 1 1 j
A( )
1 1 ( ) 2
( ) arctg ( )
•时间常数越小，频率响应特性越好
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传递函数只反映系统的响应特性而和 具体的物理结构无关 举例说明：同一个H(s)可以表征两 个完全不同的物理系统
(cosd t
1
2
(n 1 e
2
n t
sin d t
1 2
n
2 n ( 1 2 ) e t sin d t 1 2 n e t sin n 1 2 t 1 2
y( s) y( s) H ( s) y ( s ). x( s ) ( s ) h (t ) L1 H ( s ) y s (t )
故：脉冲响应函数 (t )是系统在单位脉冲输入 h 时 的输出y s (t ).又称系统对单位脉冲的 响应.
筛选性质
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例1：液柱式温度计
设温度计液柱介质的热容量为C，传导介质的热阻为R 根据热力学原理，温度计的吸热与散热，在略去热损耗的条件应保持平衡
Tx Ty R
dTy C dt
RC
dy (t ) y (t ) x(t ) dt
两边作拉氏变换， 且=RC得： sY(s)+Y(s)=X(s)
2 m
{
<1 欠阻尼 =1 临界阻尼 >1 过阻尼
( n k ) m
C C 1 2 k 2 mk k
n
1 d 2 y (t ) 2 dy (t ) 2 y (t ) x(t ) 2 n dt n dt
两边取拉氏变换：
( 1
n
2
s
2
2
n
2
n
n 1 2
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s 2 2 n s 2 n 0 s1, 2 n jn 1 2 n jd (d n 1 2 )
2n x0 ( s ) Y ( s ) 2 xi ( s ) 2 ( s 2 n s n ) 2n s ( s 2 2 n s 2 n ) n d s n d 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d t x0 (t ) y (t ) 1 e (cosd t sin d t ) 2 1
0
0
b a1 dy (t ) y (t ) 0 x(t ) a0 dt a0
a a1 1 —具有时间的量纲，称为时间常数 a0 a0
b0 a0
—是系统的灵敏度s， 令s=1称为灵敏度归一化处理， 它只影响比例，不影响动态特性。
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灵敏度归一化后：
dy (t ) y (t ) x(t ) dt
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（二）、环节的串联和并联 1. 串联
若两个环节 若n个环节
H ( s)
Y ( s) Z ( s) Y ( s) H1 ( s ) H 2 ( s ) X ( s) X ( s) Z ( s)
n
H ( s) H i ( s)
i1
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2. 并联
若两个环节
0
0.8
0 0 .8 2f 2 216
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§1-4 传感器在典型输入 下的动态响应
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脉冲响应函数 脉冲响应函数
L (t ) ( s ) 1. I ).当输入x (t )为单位脉冲函数 (t )时，
II ).当输入x (t )为任意信号时，系统输 出 y (t )为h(t )和x (t )的卷积，即： y (t ) L1H ( s ) x ( s ) h(t ) x (t ).
s 1)Y ( s) X ( s)
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传递函数 频率响应 幅频特性
n2 H ( s) 2 2 1 2 2 s 2 n s n s s 1 2 n n
1
n2 1 H ( j ) 2 ( j ) 2 2 n ( j ) n [1 ( ) 2 ] j 2 ( ) n n
§1-2 传感器的动态特性
一、动态参数测试的特殊问题 1. 要求传感器能迅速准确的测出信号幅值 大小和无失真地再现被测信号随时间变 化的波形； 2. 测试系统的动态特性 系统对激励 (输入)的响应（输出）特性。 3. 最后输出的动态特性是综合系统的动态 特性 。
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动态误差 输出信号不与输入信号具有 完全相同的时间函数，它们之间的差异。 稳态动态误差 动态误差 暂态动态误差
1
e n t 1
2
sin(d t 2 ) 2 arctan
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1 2
y (t ) 1 e
Leabharlann Baidu n t
(cosd t
1 2
sin d t ) d n 1 2 sin d t )
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a s a
n
s n1 a1s a0 Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X (s) n n 1 定义传递函数：
Y ( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an1 s n1 a1 s a0
惯性力+阻尼力+弹簧力=外力
d 2 y (t ) dy (t ) m C ky(t ) kx(t ) 2 dt dt
m d 2 y (t ) C dy (t ) y (t ) x(t ) 2 k dt k dt
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令
2 mk C ' （临界阻尼）
C C'
（阻尼比）
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2. 二阶传感器 通式：
d 2 y (t ) dy (t ) a2 a1 a0 y (t ) b0 x(t ) 2 dt dt
a2 d 2 y (t ) a1 dy (t ) 归一化： y (t ) x(t ) 2 a0 dt a0 dt
以机械系统的单自由度质量、弹簧、阻尼系统为例
对稳定系统n>m n 系统微分方程阶数，称n阶系统 n=1 一阶系统 n=2 二阶系统
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H(s)的特点： 1. H(s)与输入无关，不因x(t) 而异，只反应 系统的特性； 2. H(s)只反应系统的响应特性，而和具体的 物理结构无关； 3. H(s)虽与输入无关，但对于任一具体的输 入x(t)都确定地给出输出y(t)。
2) 正弦输入 幅频特性：幅值和频率的关系 相频特性：相位和频率的关系 指标： 带宽——幅值比不超过某一规定值的频率 范围。
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动态特性的三种描述方法： 传递函数 动态特性的复频域描述
频率响应函数 动态特性的频域描述
脉冲响应函数 动态特性的时域描述
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三、传递函数
y(t ) n e n t (cosd t e
n t
1
2
(d sin d t
n t
1
2
d cosd t ) sin d t ) n 1 2 cosd t )
n e
(t ) f (t )dt f (0) (t t0 ) f (t )dt f (t0 )
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• 证明
at F (s) f (t ) e sin t 2 2 (s a) xi (t ), xi ( s ) 1,0 1 n n x0 ( s ) 2 xi ( s) 2 s 2 n s n 1 2 ( s n ) 2 (n 1 2 ) 2 n t 2 x0 (t ) h(t ) e sin n 1 t 1 2
A( ) H ( j ) [1 ( 1
2 2 ) ] [2 ( )]2 n n
相频特性
2 ) n ( ) arctg 1 ( )2 n
2 (
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• 题目：
在某二阶传感器的频率测试中发现，谐震发 生在216HZ处，并得到最大幅值比为1.4,试估 算 , 0 解：最大幅值比为1.4，得出： 0.4
阻尼力+弹性力=外力
dy (t ) C ky(t ) f (t ) dt
C dy (t ) y (t ) x(t ) k dt
令 则
c k
H ( s) 1 s 1
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相似系统——具有相同输出-输入关系的微分 方程的系统。 相似量——在微分方程中占有相同位置的量。 这个理论称为相似理论。 相似系统对实验的作用： 1. 机电模拟 2. 模型实验
n
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一、单位阶跃响应 输入 u(t)=
0 t<0 1 t0
u (t ) (t )dt
0
单位阶跃输入下的输出就是系统脉冲响应的积分
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1) 一阶系统在u(t)激励下，稳态输出误差理论 上为零 y(t)=1-e-t/ 理论上，t ，y(t) 1，达到稳态 值，动态误差为0； 实际上，t=4，动态误差小于2%， 可认为已达到稳态。
上升时间trs 输出指示值从最终稳定值的5%或10%变
到最终稳定值的95%或90%所需要的时间。 响应时间tst 即时间常数，指输入量开始起作用 到输出指示值进入稳定值所给定的范围内所需的时间。 过调量C 输出第一次达到稳定值后又超出稳定值而出 现的最大偏差。
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Y (s) Y1 (s) Y2 (s)
H ( s) Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) H1 ( s) H 2 ( s) X ( s) X ( s) X ( s)
n
若n个环节
H ( s) H i ( s)
i 1
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§1-3 传感器动态特性分析
a0y=b0x
（零阶环节）
a1
dy a0 y b0 x dt
（一阶环节）
d2y dy a2 2 a1 a0 y b0 x （二阶环节） dt dt
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一、传感器的传递函数及其频率响应 1. 一阶传感器 通式： a dy(t ) a y(t ) b x(t )
1
dt
Y ( s) 1 H ( s) X ( s) s 1
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例2：简单的RC电路（电系统）
RC de y dt e y ex
dy (t ) RC y (t ) x(t ) dt
设RC=
1 H ( s) s 1
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例3：无质量弹簧阻尼系统（机械系统）
时间响应 动态测试中的两个重要特征 频率响应 它们也是动态特性的主要内容
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二、传感器动态特性的研究方法及其指标
1. 研究方法：
时域瞬态响应法：脉冲、阶跃、斜波等输入的响应特性 频域频率响应法：正弦输入的响应特性
2. 指标： 1) 阶跃输入时表征传感器动态特性的指标
（一）、传递函数的定义 单边拉普拉斯变换对
F ( s)
0
f (t )e st dt
记作 F(s)=L[f(t)]
st
1 f (t ) j 2
j
j
F ( s)e dt
f(t)=L-1[F(s)]
其中S=+j 复频率
微分性质: L[f’(t)]=sF(s)-f(0) 当初始条件为零时 L[fn(t)]=SnF(s)
两边取拉氏变换：sY(s)+Y(s)=X(s)
1 H ( s) s 1
H ( j ) 1 1 j
A( )
1 1 ( ) 2
( ) arctg ( )
•时间常数越小，频率响应特性越好
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传递函数只反映系统的响应特性而和 具体的物理结构无关 举例说明：同一个H(s)可以表征两 个完全不同的物理系统
(cosd t
1
2
(n 1 e
2
n t
sin d t
1 2
n
2 n ( 1 2 ) e t sin d t 1 2 n e t sin n 1 2 t 1 2
y( s) y( s) H ( s) y ( s ). x( s ) ( s ) h (t ) L1 H ( s ) y s (t )
故：脉冲响应函数 (t )是系统在单位脉冲输入 h 时 的输出y s (t ).又称系统对单位脉冲的 响应.
筛选性质
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例1：液柱式温度计
设温度计液柱介质的热容量为C，传导介质的热阻为R 根据热力学原理，温度计的吸热与散热，在略去热损耗的条件应保持平衡
Tx Ty R
dTy C dt
RC
dy (t ) y (t ) x(t ) dt
两边作拉氏变换， 且=RC得： sY(s)+Y(s)=X(s)
2 m
{
<1 欠阻尼 =1 临界阻尼 >1 过阻尼
( n k ) m
C C 1 2 k 2 mk k
n
1 d 2 y (t ) 2 dy (t ) 2 y (t ) x(t ) 2 n dt n dt
两边取拉氏变换：
( 1
n
2
s
2
2
n
2
n
n 1 2
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s 2 2 n s 2 n 0 s1, 2 n jn 1 2 n jd (d n 1 2 )
2n x0 ( s ) Y ( s ) 2 xi ( s ) 2 ( s 2 n s n ) 2n s ( s 2 2 n s 2 n ) n d s n d 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d t x0 (t ) y (t ) 1 e (cosd t sin d t ) 2 1
0
0
b a1 dy (t ) y (t ) 0 x(t ) a0 dt a0
a a1 1 —具有时间的量纲，称为时间常数 a0 a0
b0 a0
—是系统的灵敏度s， 令s=1称为灵敏度归一化处理， 它只影响比例，不影响动态特性。
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灵敏度归一化后：
dy (t ) y (t ) x(t ) dt
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（二）、环节的串联和并联 1. 串联
若两个环节 若n个环节
H ( s)
Y ( s) Z ( s) Y ( s) H1 ( s ) H 2 ( s ) X ( s) X ( s) Z ( s)
n
H ( s) H i ( s)
i1
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2. 并联
若两个环节
0
0.8
0 0 .8 2f 2 216
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§1-4 传感器在典型输入 下的动态响应
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脉冲响应函数 脉冲响应函数
L (t ) ( s ) 1. I ).当输入x (t )为单位脉冲函数 (t )时，
II ).当输入x (t )为任意信号时，系统输 出 y (t )为h(t )和x (t )的卷积，即： y (t ) L1H ( s ) x ( s ) h(t ) x (t ).
s 1)Y ( s) X ( s)
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传递函数 频率响应 幅频特性
n2 H ( s) 2 2 1 2 2 s 2 n s n s s 1 2 n n
1
n2 1 H ( j ) 2 ( j ) 2 2 n ( j ) n [1 ( ) 2 ] j 2 ( ) n n
§1-2 传感器的动态特性
一、动态参数测试的特殊问题 1. 要求传感器能迅速准确的测出信号幅值 大小和无失真地再现被测信号随时间变 化的波形； 2. 测试系统的动态特性 系统对激励 (输入)的响应（输出）特性。 3. 最后输出的动态特性是综合系统的动态 特性 。
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动态误差 输出信号不与输入信号具有 完全相同的时间函数，它们之间的差异。 稳态动态误差 动态误差 暂态动态误差