2020最新高考数学模拟测试题含答案

一、选择题（本题满分60分，每小题5分） 1
A ．
B ．
C ．
D ．
2．
将四面体（棱长为3）的各棱长三等分，经过分点将原正四
面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E 为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19
3．
复数
3
2)
31()22(i i -+等于（ ） A ．―i B ．i C ．1―i
D ．―1―i
4．
已知双曲线与椭圆125
92
2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为
5
14
，则此双曲线方程是（ ） A ．141222=-y x B ．112422=-x y C ．112422=-y x D ．14
122
2=-x y
5．
已知−→−A 0=→a ，−→−B 0=→b ，则∠AOB 的平分线上的单位向量−→
−M 0为
（ ）
A ．
|
||
|→
→
→
→
+
b b
a a
B ．|
||
|→
→
→
→
+
⋅
b b
a a
λ C ．
|
|→
→
→→
++b a b
a D ．
→
→→→
→
→→→+⋅+⋅a
b a b a
b b a ||||||||
6． 已知直线l 、m ，平面α、β，且βα⊂⊥m ,l 给出下列命题
①若α∥β，则m l ⊥ ②若m l ⊥，则α∥β ③若α⊥β，则l //m ④若l ∥
m ，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．
若(1+2x )10=a 0+a 1(x ―1)+a 2(x ―1)2+……+a 10(x ―1)10，则
a 1+a 2+a 3+……+a 10= ( )
A ．510―310
B ．510
C ．310
D ．310―1
8．
设f (x )是定义域为R ，最小正周期为
2
3π
的函数，若⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤<≤-=)
0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f ，则)415(π-f 的值等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．
2
2 D ．―
2
2 9．
设随机变量ξ服从正态分布N （0, 1），记Φ(x )=P(ξ< x )，
则下列结论不正确的是( ) A ．Φ(0) =2
1
B ．Φ(x )=1―Φ(―x )
C ．P(|ξ|< a ) = 2Φ(a ) ―1
D ．P(|ξ|> a ) = 1―Φ(a ) 10．
已知正方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线DA 1与
AC 的距离为（ ） A ．3 B ．
3
3 C ．2
1
D ．3
1
11．
已知22
)
42(lim
2=++-→x x f x ，则)63(2lim 2++-→x f x x 的值为（ ） A ．3
1
B ．2
1
C ．
3
2
D ．6
1
12． 如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图
中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形。

已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5：1：2：3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比。

现要从P 、Q 、R
中转站，使四个采
煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ） A ．P 点 B ．R 点 C ．Q 点 D ．S 点 二、填空题（本题满分16分，每小题4分） 13． 不等式01|)2|4(≤---x x 的解集是____________。

14． 在条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤≤≤≤1202
0x y y x 下，z = 3+2x ―
y 的最小值是_________。

15．
已知a 1，a 2，a 3，……，a k 是有限项等差数列，且a 4+a 7+a 10=17，
a 4+a 5+a 6，+……+a 14=77。

若a k =13，则k=_________。

16．
甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜
负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张1，2张2，甲乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是________。

三、解答题（共74分） 17．
（12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个
路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是3
1。

（1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； （2）（理）求他在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。

（文）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率。

18．
（12分）设向量→a =（1+c os α，s in α），→
b =（1+
c os β，s in
β），→
c =（1，0），
α∈（0，π），β∈（π，2π），→
a 与→
c 的夹角为θ1，→
b 与→
c 的夹角为θ2，且θ1―θ2=3
π
，求2
sin β
α-的值。

19．
设f (x ) = alnx + bx 2 + x 在x 1=1与x 2=2时取得极值，
（1）试确定a 、b 的值；
（2）求f (x )的单调增区间和减区间；
（3）判断f (x )在x 1、x 2处是取极大值还是极小值。

20．
（12分）如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=8，
AA 1= 4，M 为B 1C 1上一点，且B 1M=2，点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN ，求：
（1）c os (−→
−−→
−AM D A ,1)；
（2）直线AD 与平面ANM 所成的角的大小； （3）平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大小。

21．
（12分）已知点H （0，―3），点
P 在x 轴上，点Q 在y 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足0=⋅−→
−−→−PM HP ，
−→−
−→
−-=MQ PM 23。

（1）当点P 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）过定点A （a ，b ）的直线与曲线C 相交于两点S 、R ，求证：抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上。

22．
（14分）y = f (x )的定义域为R ，对任意实数m 、n 有f (m +n )
= f (m )f (n )，且当x <0时，f (x )>1，数列{a n }满足a 1=f (0)且
N n a f a f n n ∈--=
+()
2(1
)(1*)。

（1）求证：y = f (x )在R 上单调递减； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）是否存在正数k ，使)11(1a +
·)11(2a +·…·12)1
1(+⋅≥+n k a n
，对一切n ∈
N*均成立，若存在，试求出k 的最大值并证明，若不存在，说明理由。

参考答案
一、选择题
二、填空题
13． {x |x ≤―2或x =1} 14． 7 15． 18 16． 9
4
三、解答题（共74分）
17．（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。

∴概率P=（1―
31）（1―31）×31=274
（2）（理）)31,6(B -ζ ∴2316=⨯=ζE 34
)311(316=-⨯⨯=ζD
（文）729
160
)311()31(3336=-⨯⨯=C P
18．∵α∈（0，π），β∈（π，2π）， ∴
)2,0(2πα
∈，),2
(2ππ
β∈
又2
cos 2cos 1sin )cos 1(cos 1|
|||cos 221α
αα
ααθ=+=
+++=
⋅⋅=→
→→
→c a c
a ，
),0(1πθ∈ ∴2
1α
θ=
又)2
2cos(2sin 2cos 1sin )cos 1(cos 1|
|||cos 222πββββ
ββθ-==-=
++-=⋅⋅=
→
→→
→c b c
b ),0(2πθ∈且
)2,0(22ππβ∈-
，222π
βθ-=
∴322)22(221ππβαπβαθθ=+-=--=- ∴6
2π
βα-=-
∴2
1
)6sin(2sin
-=-=-πβ
α 19．解（1）令012)(=++='bx x
a
x f 则2bx 2+x +a =0
由题意知：x =1，2是上方程两根，由韦达定理：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⨯-=+b a b 2212121 ∴b b a 1,32-=-= （2）由（1）知：)2)(1(31
13132)(---=+--='x x x
x x x f
令02)
-1)(x -(x 0)(<>'x
x f 则 解得：x <0或1<x <2
∴f (x )的单调增区间为（1，2） 减区间是（0，1）和（2，+∞） （3）由（2）知：f (x )在x 1=1处取极小值，在x 2=2处取极大值。

20．（1）以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴。

则D （0，8，0），A 1（0，0，4），M （5，2，4） ∴)4,8,0(1-=−→−D A )4,2,5(=−→
−AM
∵01=⋅−→−−→−AM D A ∴
,cos 1<−→
−−→−AM D A （2）由（1）知A 1D ⊥AM ，又由已知∴A 1D ⊥平面AMN ，垂足为N 因此AD 与平面所成的角即是∠DAN 。

易知∠DAN = AA 1D = a r c t an 2
（3）∵AA 1⊥平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，
∴−→−1AA 和−→
−1NA 分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。

设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
θ=（−→
−1AA ，−→
−1NA ）=∠AA 1N = AA 1D = a r cc os
5
5
21．（1）解：设P （a ,0），Q （0，b ）
则：03),)(3,(2=-=-=⋅−→
−−→−b a b a a PQ HP ∴b a 32=
设M （x ,y ）∵−→−
−→
−-=HQ PM 2
3
∴a a
x 2231-=-= b b
y 323123
=--=
∴24
1
x y =
（2）解法一：设A(a ,b )，)41,(211x x S ，)4
1,(2
22x x R （x 1≠
x 2）
则：直线SR 的方程为：)(41414111
22
1
2221x x x x x
x x y ---=
-，即4y = (x 1+x 2)x －x 1x 2 ∵A 点在SR 上，∴4b =(x 1+x 2)a －x 1x 2 ① 对24
1
x y =求导得：y ′=2
1x ∴抛物线上S 、R 处的切线方程为：
)(21411121x x x x y -=-
即42
112x x x y -= ② )(2
1412222x x x x y -=-即42222x x x y -= ③ 联立②③，并解之得⎪⎩⎪⎨
⎧=+=2
121412x x y x x x ，代入①得：ax －2y －2b =0 故：B 点在直线ax －2y －2b =0上 解法二：设A(a ,b )
当过点A 的直线斜率不存在时l 与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR 的方程为y －b =k (x －a )
与24
1
x y =联立消去y 得：x 2－4kx +4ak －4b =0
设)41,(211x x S ，)4
1,(2
22x x R （x 1≠x 2）
则由韦达定理：⎩⎨
⎧-==+)
(442121b ak x x k
x x
又过S 、R 点的切线方程分别为：21124x x x y -=，22224x x x y -=
联立，并解之得⎪⎩
⎪⎨⎧-===+=b
ak x x y k x x x 212141
22 （k 为参数） 消去k ，得：ax －2y －2b =0 故：B 点在直线2ax －y －b =0上
22．解（1）令m =－1，n =0则：f (–1)=f (–1)f (0)，而f (–1)>1 ∴f (0)=1 令m =x >0，n = –x <0则f (x –x )=f (x )·f (–x )=1 ∴f (x )=
)
(1
x f -∈(0,1)，即x >0时0<f (x )<1 设x 1<x 2则x 2–x 1=0 ∴0<f (x 2–x 1)·f (x 1)–f (x 1)=f (x 1)[f (x 2–x 1)–1]<0 ∴f (x )<f (x 1) 即y = f (x )在R 上单调递减 （2）由f (a n +1)=
)
2(1
n a f --，n ∈N* 得：f (a n +1)·f (–2–
a n ) =1
∴f (a n +1–a n –2) = f (0) 由（1）知：a n +1–a n –2=0
即a n +1–a n =2（n ∈N*） ∴{a n }是首项为a 1=1，公差为2的等差数列 ∴a n =2n –1
（3）假设存在正数k ，使（1+
)1
1)...(11)(121n
a a a ++12+⋅≥n k 对n ∈N*恒成立 记F (n )=1
2)1
1)...(11)(11(21++++
n a a a n
即
11
)1(4)1(2)
()1(2
>-++=+n n n F n F ∴F （n ）是递增数列，F （1）为最小值。

由F （n ）k ≥恒成立知k 332)1(=
≤F ∴k max = 3
3
2.。