矢量分析与场论

数学准备：矢量分析与场论第1章

⏹The language of transport phenomena is mathematics

Ordinary(partial) differential equations

Elementary vector analysis.

本章的目的

⏹作为传递过程原理的数学准备，通过本章的学习，需要熟悉以下内容：

矢量运算(标量积、矢量积)

三种正交曲线坐标系

直角坐标系下梯度、散度、旋度的定义

标量和矢量的拉普拉斯运算

偏导数、全导数和随体导数的定义

例：用矢量运算形式表示的传递方程 请将下面三个方向上的Navier-Stokes 方程写成统一的矢量运算和随体导数的形式:

222

22213y x x x x x z u Du u u u u u p X Dt x x y z x x y z ρρμμ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=-++++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭222

22213y y y y y x z Du u u u u u u p Y Dt y x y z y x y z ρρμμ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂=-++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

22222213y x z z z z z u u Du u u u u p Z Dt z x y z z x y z ρρμμ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=-++++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭21()g Du F p u u ρρμμ=-∇+∇+∇∇⋅

第1章教学目录

1.1 标量、矢量和张量基本概念1.2 正交曲线坐标系

1.2 矢量微分运算

1.1 标量、矢量和张量基本概念1.1.1 标量、矢量和张量基本概念

1.1.2 标量积

1.1.3 矢量积

⏹传递过程中所遇到的物理量可以分为三类： 标量，即0阶张量，具有大小，无方向，如温度、体积。 矢量，即1阶张量，具有大小和方向，如速度、力。 张量，即2阶张量，具有大小和两个方向的量，如剪切应力。⏹

矢量的表示方法

A 是矢量的大小，又称模值 代表矢量的方向，其大小等于1，称为基本矢量、单位矢量 在直角坐标系中，矢量可以表示为： 该矢量的模为：1.1.1 标量、矢量和张量基本概念A Ae = e 123112233A Ai A j A k A e A e A e =++=++ 222123A A A A A ==++

⏹标量积

⏹在直角坐标系下：cos A B A B θ

⋅=⋅⋅ B cos θθA B ()()x y z x y z x x y y z z A B A i A j A k B i B j B k A B A B A B ⋅=++++=++

⏹矢量积

大小： 方向：右手螺旋定则⏹在直角坐标系下：

sin A B A B θ⨯=⋅⋅

sin x y z

x y z

i j k

A B A B A A A B B B θ⨯=⋅⋅=

Solution

(i)

(ii)

(iii)

1 矢量分析与场论

1.1 标量、矢量和张量基本概念1.2 正交曲线坐标系

1.3 矢量微分运算

1.2 正交曲线坐标系

⏹目的

为了解决问题的方便，不同的问题需要选用不同的坐标系，选取原则：

被研究的课题在选定的坐标系上具有对称性，以便减少独立的空间参

数。

将在一个坐标系下推导的传递方程应用在另一个坐标系下需要坐标变换。

⏹主要内容

1.2.1 正交曲线坐标的概念

1.2.2 常见的正交曲线坐标系

1.2.1 正交曲线坐标（Orthogonal Curvilinear Coordinates）

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交的曲线的交点来确定 该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系

三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量。

1.2.2 常见的正交曲线坐标系

⏹1.2.2.1 直角坐标系

⏹1.2.2.2 柱坐标系

⏹1.2.2.3 球坐标系

1.2.2.1直角坐标系(Cartesian Coordinate System)

x y z -∞<<∞-∞<<∞-∞<<∞

x y z A A i A j A k

=++

任一矢量可以表示为：

范围：

范围：

和直角坐标系的变换关系：

cos sin x r y r z z

θθ===002r z θπ≤≤∞≤≤-∞≤≤∞

r r z Z

A e A

e A e A θθ=++ 任一矢量可以表示为：

r=2,θ=-60°, z=1

微元体的体积：微元体的面积：

范围：

和直角坐标系的变换关系：

sin cos sin sin cos x r y r z r θφθφθ

===0002r θπφπ

≤≤∞

≤≤≤≤r

r A e

A e A e A φφθθ

=++ 任一矢量可以表示为：

r=2, θ=45,φ=-60

微元体的体积：

微元体的面积：

1 矢量分析与场论

1.1 标量、矢量和张量基本概念1.2 正交曲线坐标系

1.3 矢量微分运算