高一数学指数与指数函数

6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的 解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.
解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
=-(a-1)(a-1)- 4
1 2 1
3
=-(a-1) =- 4 a-1 .
1 1
1 4
1 1 2 3
] (xy)
1 2
=(xy2x 2 y- 2) 3 x 2y 2
1 2 1 2
Biblioteka Baidu1 1
=(x y ) x y =x y x y =xy. (3)由(-a) 知 -a≥0, ∴a-1<0. ∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a) 4 =(-a) 4 .
n
am ,
a- n
m
=
五、有理数指数幂的运算性质
(1)ar· as=ar+s
(3)(ar)s=ars (4)(ab)r=arbr
(a>0, r, s∈Q);
(a>0, r, s∈Q); (a>0, b>0, r∈Q).
(2)ar÷as=ar-s (a>0, r, s∈Q);
六、指数函数
函数 y=ax(a>0, 且a1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函 数的定义域是 R.
x2-1 1 5.已知 2x= a + a (a>1), 求 x- x2-1 的值.
解: 以 x+ x2-1、 x- x2-1 为根构造方程: t2-2xt+1=0, 1 =0, ∴t= a 或 1 . 即: t2-( a + 1 ) t + a · a a a ∵ x+ x2-1 >x- x2-1 , a>1, ∴ x+ x2-1 = a , x- x2-1 = 1 a. 1 ∴ x 2- 1 = 1 ( a a ), 2 1( a - 1) a 1 ∴原式= 2 = 2 (a-1). 1 a 解法二: 将已知式整理得: 1 1 ( a )2-2x a +1=0 或 ( a )2-2x( a )+1=0. 2-1 , 1 =x- x2-1 , ∵ a> 1 , ∴ a = x + x a a 以下同上.
∴ -2≤g(x)≤0 .
故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0].
x e 7.设 a>0, f(x)= a - ax 是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)试判 e 断 f(x) 的反函数 f-1(x) 的奇偶性与单调性. 1 解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 即 a -a=0. ∴a2=1. ∵a>0, ∴a=1. 此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数. ∴a=1 即为所求. (2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, xR, f(x)R. ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数.
∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数. 又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数. ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数. 综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君竟然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次居然不管不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，但是明眼人谁都看得出来，那物件肯定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是罢手不予追究。现在倒好，王爷居然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！不过，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲兄弟、明算帐，夫妻俩、账算明。不管将来会被众人如何 耻笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大概值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各机灵鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也听说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，现在苏培盛向他 问来那件首饰の价格，立即猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七居然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只得战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。不过，假设按照您刚才大致说の那各样子，小の估摸着，最少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。虽然他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也承认那确实是各稀罕物件，但是壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，不过，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚刚就是担心，不管他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。由于不相信，导致苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の手段。果不其然，鲁小七の担心非常有道理，现在苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今天の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命不久矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每月の例 钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，现在这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这样の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，竟然下得去狠手？噢，对咯，估计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最贵重の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩治壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩治侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回估计是要被爷罚 得倾家 ； http://www.bestfanyi.com.au/ 悉尼驾照翻译
D. a>c>b
1.化简下列各式:
4
典型例题
1 2 1 2
1 (1) (1-a) (a-1)3 ; (2) 3 xy2· xy-1 · xy ;
(3) (1-a)[(a-1)-2(-a) ] . 解: (1)原式=(1-a)(a-1)- 4 (2)原式=[xy2(xy-1)
3 2 3 1 2 3
1 2 3
4.当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时,
n n a =a ; n
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根.
6.零的任何次方根都是零.
四、分数指数幂的意义
a =
m n
1 * m (a>0, m, n∈N , 且 n>1). an 注: 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义.
∴f(a+2)=3a+2=18. 即 g(x)=2x-4x.
∴3a=2.
(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x[0, 1], 则 t[1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减, ∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.
g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下: 对于任意的 x1, x2[0, 1], 且 x1<x2, g(x1)-g(x2) =(2x -4x )-(2x -4x )
1 1 2 2
=(2x -2x )-(2x -2x )(2x +2x )
1 2 1 2 1 2 1 2
=(2x -2x )(1-2x -2x )
七、指数函数的图象和性质
a>1 y 图
y=ax (a>1) y=ax (0<a<1)
0<a<1 y
象
y=1
(0, 1)
(0, 1) o
x
y=1
o
(1) 定义域: R 性 质
x
(2) 值
域: (0, +∞)
(4) 在 R 上是减函数.
(3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1. (4) 在 R 上是增函数.
A. (1-a) >(1-a)bb 2 b C. (1-a) >(1-a)
b
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B. (1+a)a>(1+b)b D. (1-a)a>(1-b)b
5.设 a=60.7, b=0.76, c=log0.76, 则( C ) A. c>a>b B. b>a>c C. a>b>c
1 2 1 2
∵0≤x1<x2≤1, ∴ g(x1)-g(x2)
∴2x -2x <0 且 1-2x -2x <0.
1 2
=(2x -2x )(1-2x -2x )>0.
1 2 1 2
∴ g(x1)>g(x2).
故函数 g(x) 在 [0, 1] 上单调递减.
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减 性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域. 解: (3)∵g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, ∴ x[0, 1] 时有: g(1)≤g(x)≤g(0). ∵g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0,
一、整数指数幂的运算性质
(1)am· an=am+n (3)(am)n=amn (4)(ab)n=anbn (m, n∈Z); (m, n∈Z); (n∈Z). (2)am÷an=am-n (a0, m, n∈Z);
二、根式的概念
如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫 做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n>1 且 n∈N*. 式子 n a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方 数.
三、根式的性质
1.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次 方根是一个负数, a 的 n 次方根用符号 n a 表示.
2.当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根有两个, 它们互为相反数, 这时, 正数的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符 号 - n a 表示. 正负两个 n 次方根可以合写为 n a (a>0). 3.( n a )n=a.
课堂练习
1.若函数y=ax+b-1 (a>0, a1) 图象经过第二、三、四象限, 则一定 有( C ) A. 0<a<1, b>0 B. a>1, b>0 C. 0<a<1, b<0 D. a>1, b<0
2.若 0<a<1, b<-1, 则函数 y=ax+b 的图象不经过( A )
3.设 a=40.9, b=80.48, c=( 1 )-1.5, 则( D ) 2 A. c>a>b B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b 4.若 0<a<b<1, 则( D ) 1
1 1
1 1 2 2
1 2
2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x. 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-22x · 2- =25-2=23; x (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-32x · 2-x(2x+2-x) =125-15=110. 3.已知 2a · 5b=2c · 5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 证: 由已知 2a · 5b=10=2 · 5, 2c · 5d=10=2 · 5, ∴ 2a-1 · 5b-1=1, 2c-1 · 5d-1=1. ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1) =1. ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1). ∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1). ∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的 值并求方程其余的根. a= 1 2 时, 方程的另一根为 x=1-log23; a=3时, x=1-log32 .