高中数学 抛物线及其标准方程
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y2 2 px
p 0
x2 2 py
p 0
x2 2 py
p 0
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
点如 位何2p置,确0及定开抛口物x方线2p向焦?
一0,次p 变量定焦y点
2
p 2
开口方向看正负
0, p 2
生活中的抛物线
美丽的赵州桥
生活中抛物线
生活中的抛物线
抛球运动
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展示课前实践作业
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺
2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺 3.取长等于另一直角边长的绳子
4.固定绳子一端在直尺外一点
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨迹
动画 演示
A 返回目录
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
一、抛物线的定义:
· 在平面内,与一个定点F和一 H d M
条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点,
·F
焦 点
直线l 叫抛物线的准线. 准线 l
即:若 MF 1 ,则点M的轨迹 d
返回目录
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1） y2 20x
(1) (5，0)，x 5．
（2） x2 1 y 2
(2) (0， 1)，y 1．
8
8
（3） 2 y2 5x 0 （3）（ 5，0），x 5．
（4） y 1 x2 4
8
8
（4）（0，1），y 1．
注意 求抛物线的焦点或准线时，一定要先把方 程化为标准方程；
是抛物线.
d为 M到 l 的距离
1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?
2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如
何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单? 返回目录
问题2：如何求写抛物线方程呢？ 求曲线方程的五个步骤：“建”、“设”、 “限”、“代”、“化”.
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
y p 2 返回目录
• “三看” 抛物线的标准方程
• （1）从形式上看：方程左边为二次式， 系数为1；右边为一次项，系数为 2 p
• （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称 轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦
点与准线的距离相等，均为p\2.
• (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准 线及开口方向；一次项系数为焦点非零 坐标的4倍.
4.M是抛物线y2 = 4x上一点，若点M到焦点F的
距离等于6，求点M坐标. M (5,2 5)
返回目录
y l
O
F(0,-2)
1．因为抛物线的焦点坐 标为（0， 2），
x
在y轴负半轴上，且 p 2，所以， 2
所求抛物线的标准方程 是x2 8y．
y
F O l
2．因为抛物线的准线方 程是y 4， 所以焦点在ｙ轴的正半 轴上，且 p＝4，
四、抛物线及其标准方程的应用
根据下列条件求抛物线的标准方程？
1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); x2 8 y
2.抛物线的准线方程是 y=-4;
x2 16 y
3．.焦焦点点在到x轴准负线半的轴距，离且为焦点2．到准线距离 2 ;
y2 2 2x或y2 2 2x或x2 2 y22y或2x2 2x 2 2y．
2
x
所以所求抛物线的标准 方程是x2 16 y．
y=-4
返回例1
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y
FO x l
y M
H OF x
l
3．因为抛物线的焦点到 准线的距离是 2， 所以p 2，又因为抛物线的焦点 在x轴 的负半轴上，所以，所 求抛物线的标准 方程为y2 2 2x．
4．解 : 设M (x , y )，
.
KO F
x
l
建系一：以KF所在直线为x轴，以K为原
点建立直角坐标系，则F（p,0）
设动点M(x,y), 由定义得动点M限制条件：
yd
将M（x,y）代入得:
( x p )2 y2 x
K(O)
l
化简得：y2 2 px p2( p 0 )
.
M(x,y)
.
F
x
不同建系下的方程比较
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
.
KO F
x
l
y2 2 px p2 y2 2 px p2 y2 2 px
三、抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0） 其中p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离．
· H yd M K O··F x
l
方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的 抛物线．
0
0
返回例1
抛物线y2 4x的准线方程为x 1，
由抛物线的定义知：MF MH ．
所以x (1) 6，所以x 7，
0
0
又因为M（7，y ）在抛物线y2 4x上， 0
所以y02
4 7，所以y 0
2
7．
所以M（7， 2 7）．
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四、抛物线及其标准方程的应用
焦点F的坐标为（: p，0），准线l的方程为: x p．
2
2
返回目录
三、抛物线的标准方程的其他形式
l
· N
M
·F
ly
· N
M
· H
Fx
· · · ·
F M
l
N
y
F M
l
O NH
x
图形
y HM
OF x
ly MH
FO x
l
y
F
O l
M
x H
ly O
F
H x
M
标准方程 y2 2 px
p 0
p 0
x2 2 py
p 0
x2 2 py
p 0
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
点如 位何2p置,确0及定开抛口物x方线2p向焦?
一0,次p 变量定焦y点
2
p 2
开口方向看正负
0, p 2
生活中的抛物线
美丽的赵州桥
生活中抛物线
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抛球运动
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展示课前实践作业
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺
2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺 3.取长等于另一直角边长的绳子
4.固定绳子一端在直尺外一点
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨迹
动画 演示
A 返回目录
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
一、抛物线的定义:
· 在平面内,与一个定点F和一 H d M
条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点,
·F
焦 点
直线l 叫抛物线的准线. 准线 l
即:若 MF 1 ,则点M的轨迹 d
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求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1） y2 20x
(1) (5，0)，x 5．
（2） x2 1 y 2
(2) (0， 1)，y 1．
8
8
（3） 2 y2 5x 0 （3）（ 5，0），x 5．
（4） y 1 x2 4
8
8
（4）（0，1），y 1．
注意 求抛物线的焦点或准线时，一定要先把方 程化为标准方程；
是抛物线.
d为 M到 l 的距离
1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?
2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如
何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单? 返回目录
问题2：如何求写抛物线方程呢？ 求曲线方程的五个步骤：“建”、“设”、 “限”、“代”、“化”.
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
y p 2 返回目录
• “三看” 抛物线的标准方程
• （1）从形式上看：方程左边为二次式， 系数为1；右边为一次项，系数为 2 p
• （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称 轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦
点与准线的距离相等，均为p\2.
• (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准 线及开口方向；一次项系数为焦点非零 坐标的4倍.
4.M是抛物线y2 = 4x上一点，若点M到焦点F的
距离等于6，求点M坐标. M (5,2 5)
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y l
O
F(0,-2)
1．因为抛物线的焦点坐 标为（0， 2），
x
在y轴负半轴上，且 p 2，所以， 2
所求抛物线的标准方程 是x2 8y．
y
F O l
2．因为抛物线的准线方 程是y 4， 所以焦点在ｙ轴的正半 轴上，且 p＝4，
四、抛物线及其标准方程的应用
根据下列条件求抛物线的标准方程？
1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); x2 8 y
2.抛物线的准线方程是 y=-4;
x2 16 y
3．.焦焦点点在到x轴准负线半的轴距，离且为焦点2．到准线距离 2 ;
y2 2 2x或y2 2 2x或x2 2 y22y或2x2 2x 2 2y．
2
x
所以所求抛物线的标准 方程是x2 16 y．
y=-4
返回例1
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y
FO x l
y M
H OF x
l
3．因为抛物线的焦点到 准线的距离是 2， 所以p 2，又因为抛物线的焦点 在x轴 的负半轴上，所以，所 求抛物线的标准 方程为y2 2 2x．
4．解 : 设M (x , y )，
.
KO F
x
l
建系一：以KF所在直线为x轴，以K为原
点建立直角坐标系，则F（p,0）
设动点M(x,y), 由定义得动点M限制条件：
yd
将M（x,y）代入得:
( x p )2 y2 x
K(O)
l
化简得：y2 2 px p2( p 0 )
.
M(x,y)
.
F
x
不同建系下的方程比较
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
.
KO F
x
l
y2 2 px p2 y2 2 px p2 y2 2 px
三、抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0） 其中p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离．
· H yd M K O··F x
l
方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的 抛物线．
0
0
返回例1
抛物线y2 4x的准线方程为x 1，
由抛物线的定义知：MF MH ．
所以x (1) 6，所以x 7，
0
0
又因为M（7，y ）在抛物线y2 4x上， 0
所以y02
4 7，所以y 0
2
7．
所以M（7， 2 7）．
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四、抛物线及其标准方程的应用
焦点F的坐标为（: p，0），准线l的方程为: x p．
2
2
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三、抛物线的标准方程的其他形式
l
· N
M
·F
ly
· N
M
· H
Fx
· · · ·
F M
l
N
y
F M
l
O NH
x
图形
y HM
OF x
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FO x
l
y
F
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M
x H
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F
H x
M
标准方程 y2 2 px
p 0