中考几何综合题专题练习含答案
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平面几何题专项训练
一、方法提点
几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可以分为几何计算型综合题和几何论证型综合题,它主要是考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答。解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键。 解几何综合题,还应注意以下几点:
(1)注意观察、分析图形,把复杂图形分解为几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形;
(2)掌握常规的证题方法和思路;
(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题(常常借助于解直角三角形和两三角形相似的性质),还要灵活运用其它数学思想方法如数形结合、分类讨论等。
二、强化训练
(一) 达标训练
1.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,DB 平分∠ADC ,过点A 作AE ∥BD ,交CD 的延长线于点E ,且∠C =2∠E .
(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形.
(2)若∠BDC =30°,AD =5,求CD 的长.
(1)证明:∵AE ∥BD ,
∴∠E =∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC =2∠BDC
又∵∠C =2∠E
∴∠ADC =∠BCD
∴梯形ABCD 是等腰梯形 3分 (2)解:由第(1)问,得∠C =2∠E =2∠BDC =60°,且BC =AD =5
∵在△BCD 中,∠C =60°,∠BDC =30° ∴∠DBC =90°
∴DC =2BC =10 7分
2.中,AE 是BC 边上的高,将沿方向平移,使点E 与点C 重合,得.
(1)求证:;
(2)若四边形是菱形,且,BC=9的面积.
证明:(1)∵四边形是平行四边形,
ABCD ABE △BC GFC △BE DG =ABFG 60B ∠=°ABCD ABCD A D
G 图 5
E D C B
A
∵是边上的高,且是由沿方向平移而成. ∴.
∴. ∵,
∴. ∴.
(2)∵四边形ABFG 是菱形, ∴AB=BF .
∵中,,
∴, ∴=1/2BF . 又BE=FC
∴BE=1/3BC=3.
在中,AE=tg 30°.BE= ∴S ABCD=BC .AE=9×=9
3.如图,在直角梯形中,∥,.点是的中点,过点作的垂线交于点,
交的延长线于点.点在线段上,且满足,.
(1)若,求证:; (2)求证:. (2010重庆市中考题,答案见《试题研究》)
4.如图,边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形,
与交于点.
(1)若,证明:;
(2)若,证明:;
(3)若的周长为1,求矩形的面积.
(1)证明1:在与中,
∵,
∴. ∴.
证明2:在中,.
在中, ∵,
AE BC CG AE BC CG AD ⊥90AEB CGD ∠=∠=°AE CG =Rt Rt ABE CDG △≌△BE DG =Rt ABE △60B ∠=°30BAE ∠=°1
2
BE AB =
Rt ABE △333ABCD AD BC 90ABC ∠=︒E DC E DC AB P CB M F ME AD CF =MF MA = 120=∠MFC MB AM 2=FCM MPB ∠-
=∠2
1
90 ABCD EF GH 、EF GH P AG AE =AF AH =45FAH ∠=°AG AE FH +=Rt GBF △EPHD Rt ADH △Rt ABF △AD AB DH AG AE BF ====,Rt ADH △≌Rt ABF △AF AH =Rt AEF △222
AF AE EF =+Rt AGH △2
2
2
AH AG GH =+AG AE GH EF ==,A E D
H G P
B
F C
A
D
G C B F E
M P
F
E
D
C B
A
(2)证明1:将绕点顺时针旋转到的位置. 在与中, ∵
,
∴.
∴.
∵,
∴.
证明2:延长至点,使,连结. 在与中, ∵,
∴.
∴. ∵,
∴.
∴. ∴. ∴.
∵, ∴.
(3)设,则,.() 在中,. ∵的周长为1, ∴.
即.
即. 整理得.(*) 求矩形的面积给出以下两种方法: 方法1:由(*)得.①
∴矩形的面积② 将①代入②得
ADH △A 90°ABM △AMF △AHF △ AM AH AF AF ==,,904545MAF MAH FAH FAH ∠=∠-∠=-==∠°°°AMF AHF △≌△MF HF =MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+AG AE FH +=CB M BM DH =AM Rt ABM △Rt ADH △AB AD BM DH ==,Rt Rt ABM ADH △≌△AM AH MAB HAD =∠=∠,45FAH ∠=°904545BAF DAH BAD FAH ∠+∠=∠-∠=-=°°°45MAF MAB BAF HAD BAF FAH ∠=∠+∠=∠+∠==∠°AMF AHF △≌△MF FH =MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+AG AE FH +=BF x GB y ==,1FC x =-1AG y =-01
01x y <<<<,Rt GBF △2
2
2
2
2
GF BF BG x y =+=+Rt GBF △221BF BG GF x y x y ++=+++=22
1()x y x y +=-+2
2
2
12()()x y x y x y +=-+++22210xy x y --+=EPHD 21
2(1)
x y x -=
-EPHD (1)(1)S PH
EP FC AG x y ===--··(1)(1)S x y =--E D H
C
F
B M
G A
P (2)图