数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院班级学号（后两位）姓名
.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）
1. 若fx在a,b连续，则fx在l a,b 1上的不定积分fxdx可表为
X
a f （t dt +c（）.
a
2. 若f X ,g X 为连续函数，则f X g xdx =〔f XdXM g XdXk ）.
,, -⅛c⅛c-be
3•若f X dx绝对收敛，g X dx条件收敛，贝U . ［ f x - g x ］dx必
a a a
然条件收敛（）•
4. 若.「f X dx收敛，则必有级数Vf n收敛（）
n =1
5. 若f 与On ［均在区间I上内闭一致收敛，则^n ■ g∕f也在区间I 上内闭一致收敛（）.
QQ
6. 若数项级数「a n条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散
n A
于正无穷大（）.
7. 任何幕级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到
的新幕级数收敛半径与收敛域与原幕级数相同（）.
二单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 若f（x ）在a,b ］上可积，则下限函数J a f（XdX在Bb ］上（）
-X
A. 不连续
B. 连续
C. 可微
D.不能确定
2. 若g X在a,b 1上可积，而f X在l a,b】上仅有有限个点处与g X不相等，
则（）
A . f X 在a,b i 上一定不可积；
B. f X 在 a,b 1 上一定可积，但是 a f X dx = a g X dx ；
C. f X 在 a,b 1 上一定可积，并且 a f X dx = a g x dx ;
D. f X 在∣a,b 1上的可积性不能确定.
3.
级数f 1 -2宀 n =I
n
A. 发散
B.绝对收敛
C.条件收敛
D.不确定
4.
设7 U n 为任一项级数，贝U 下列说法正确的是（
）
若IimU n=O ,则级数' U
n
一定收敛; n _.
5.
关于幕级数二：a n x n 的说法正确的是（
）
A. X
a n X n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；
B. x
' a n X n 在收敛域上各点是绝对收敛的；
C. 7 a n X n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;
D.
a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
B.
若艸罟亠1,则级数
U n 一定收敛;
C.
若 N ）当n ∙ N 时有
U n 1 U n <1
， 则级数a U n 一定收敛; D.
若 N ）当n 小时有,|
U n 1 U n
则级数a U n 一定发散;
A.
1.
.计算与求值(每小题5分，共10分) ∣m 1n 7(n +1 (n +2 T (n + n )
判断敛散性(每小题5分，共15分) :3 x -1
1.
2.
I
n^^dX COS X
- dx
1 、X x 2
ZiC n!
2. 7 n
■—n
n 4 n
五•判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）
1. f n X -SnnX,n =1,2 , D=八，二
n
2
2. X n n D- - ：：, - 2 L 2, ■：：
X
六•已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分）
七•将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

（本题满分10分）
C O Sn X在-：：，•：:上连续，且有连续的导函数
八.证明：函数f X =7
n
（本题满分9分）
解：令X=Sin 2t 得
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》B 卷.答案
学院 ________ 班级 __________ 学号（后两位） _____ 姓名 _______
、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.?
2. ?
3. ?
4.
? 5.
? 6.
? 7.
?
二•单项选择题（每小题3分，共15分）
1. B ;
2.C ;
3.A ;
4.D;
5.B
三.求值与计算题（每小题5分，共10分）
1. Iim n —j .
1
n
质
Xd —= --------------- d x
3
- 2
2x
1
n
解：由于0乞3
----------- X
3
・ 2
. 2x
V 1X Sin x+e
dx -
'3X n dX
1 1
C 十0
lim XdX = Iim- n n n 匸 n ∙ 1 3"
----------------- 4
故由数列极限的迫敛性得:
1
n
..13
X n im 0
3 . 2 2x
V X Sin x+e
2.设 f Sin 2 X — Sin X
,求 ^X
fXdX
1
1
4
分
从而当 有 Inn
e 2
n ∏Q
/
Jn n
(ln n )
jτx
x
f (XdX ^I
s ⅛ffein 2td(Sin
2tμ
--------------------------------------------------------- 2
分
2 tsintdt
--------------------------------- 4
分
=-2t cost 2sint C
=-2.1 - X arcsin . X 2.x C ------------------------ 5
分
四.判别敛散性（每小题5分，共10分）
由柯西判别法知,
Sint t COSt Sint
2si nt costdt
1.
1
arcta n X ,1 dx 2 -X
解：-
Iim -χ12arctanX
J-X 2
1. arcta n X
=lim ------------ X IJ)
.1 X 4、. 2
2.
OCl
Σ 瑕积分
aB XdX 收敛
n 俎 ln n lnn
解： lim Inn =
n —)PC
n 0 N ,当 n
n 0 时
分
3. ' f
X n
解：易知，级数a -1 n
的部分和序列∙⅛n^—致有界，一2
1
而对-X∙ D ）
V n X =二
是单调的，又由于
X + n
o0 I
由比较判别法
J■ n/
(In n )
收敛
分
五.判别在所示区间上的一致收敛性 （每小题 5分，共15分）
1.
f n
X
= X 2
，n =12…,
解: 极限函数为f X = Iim f n X = X
n —⅛□C
1∕n 2 1
C ------- 3
Ir- n
X 亠一2 X
n
2. O <sup f n
(X L f (X )
X WD
从而二 Iim SUP f n
- f =O
n —JpC I
故知该函数列在D 上一致收敛.
' 2nsin 3÷，D 小1,1]
解：因当χ∙ D 时,
U n
(x ) = 2n Si Sin 冷 ≤ 3n 而正项级数
收敛,
\3 .丿
分
由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.
1 1
- X D , V n x =二
On 「，， ---------------------- 4
分
x+ n n
所以V n X=飞」在D 上一致收敛于0,
I
x+n,
从而由狄利克雷判别法可知，该级数在 D 上一致收敛。

——5 分
六.设平面区域D 是由圆X 2 y^2 ,抛物线y=χ2及X 轴所围第一象限部分, 求由D 绕y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10分）
的交点坐标为：1,1， 分
则所求旋转体得体积为：
1 2 1 0
2 _ y dy _ 二 0 ydy
----------------------------------------------------- 10 分
七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水， 求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10分）
解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为 X 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：
2
dW =二 5
- xdx =25ι XdX
------5
分 故
所
求
为
:
10 W =215—
XdX
S
--------- 8
分
=1250 JlV
=12250
■（千焦）
---
------- 10
八•设U n X n =1,2… 是
［a,b ］上的单调函数，证明：若Yu n a 与× ∪n b 都 解：解方程组丿 2 2
X y 2 2
y 二 X
得圆X 2 y 2 =2与抛物线y = X 2
在第一象限
绝对收敛，则7 ∪n X在［a,b］上绝对且一致收敛•(本题满分9分) 证明：∪n X n =1,2… 是［a,b］上的单调函数，所以有
Un(X)勻∪n(a p+∪n(b j
------------------------------- 4 分
又由∪n a与V ∪n b都绝对收敛，
所以Σ h n(a p+∪n(b p 收敛， --------------------------------------- 7分
由优级数判别法知：
∪n X 在［a,b］上绝对且一致收敛. ------------------- 分
2013 ---2014学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院班级学号（后两位）姓名
.判断题（每小题2分，共16分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）
1. 若f（x）在［a,b］上可导，则f（x）在［a,b］上可积.（）
2. 若函数f（x）在［a,b］上有无穷多个间断点，贝U f（x）在［a,b］上必
不可
积。

（）
3. 若f（x）dx与g（x）dx均收敛，则［f （X）∙ g（x）］dx —定条件收
a a a
敛。

（）
4. 若f X 1在区间I上内闭一致收敛，贝/ fn X 1在区间I处处收敛（）
θ0
a
5. 若∑a n为正项级数（a n >0 ）,且当n>n°时有：加胡，则级数
nW a n
a n必发散。

（）
n £
6. 若f X以2二为周期，且在〔-二二1上可积，则的傅里叶系数为：
1 2 二
a n f X CoSnxdx （）
Jr ^0
7. 若 a a n=s ,则 a a n ' a n^ i=2S ' a1（）
n 3 nF
8. 幕级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。

（）
二.单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 下列广义积分中，收敛的积分是（）
QQ
2. 级数J an 收敛是V
an 部分和有界的
n =1
关条件
3. 正项级数YU n 收敛的充要条件是
5.下列命题正确的是(
QO
A a n (x)在［a,b ］绝对收敛必一致收敛 n 吐
OO
B ' a n (x)在［a,b ］一致收敛必绝对收敛
n =1
QQ
C 若 Iim Ia n (X)I = O ,则、a n (x)在［a,b ］必绝对收敛
Y
n#
D Ja n (X)在［a,b ］条件收敛必收敛
n =1
6..若幕级数a a n X n 的收敛域为-1,1 1,则幕级数a a n X n 在-1,1上
A. 一致收敛
B.绝对收敛
C. 连续
D.可导
1 1
dx
X
亠' 1
1
•、X d
x
-be O Sin
XdX
ι
1
WdX
OCl
a n n =1
A 必要条件
B 充分条件 充分必要条件
A. lim U n=O
n _.
B.
数列：U n 匚单调有界
C.部分和数列「Sn ?有上界
D.
4.设∣im ］a ^=a 则幕级数瓦
n
→3
⅜ a n
bn
a n X
b ■ 1的收敛半径R=(
1
A. a
B. a b
C. D.
三.求值或计算(每题4分，共16分)
1. J x x(1 + In X )dx ；
2. dx
Sin xcosx
1 I
3. L(^Xe^dX.
4. 设f X 在［0,1］上连续，求li^θ f n x dx
4.、 四. （16分）判别下列反常积分和级数的敛散性
n
e n! n n
≡J1J
dx
32
2
3x
-
2.
1
dx
1 x In (1 . x)
3.
五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题 5分,
共10分）
1. f n (x) - . X 2 n 鼻，n =1,2,
;X ( — ：：,：：)
六. 应用题型（14分）
有水兀（m 3），若再加水7兀（m 3 ），问水位升高了多少米?
2.
OO
Σ
n α
2 (-1)n 3n
；X r ≡ D = - ：：，「0.5 , . ：.0.5, S I
1. 一容器的内表面为由 y =x 2绕y 轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现
2. 把由y =e^ , X轴，y轴和直线X = ；；0所围平面图形绕X轴旋转得
1
一旋转体，求此旋转体的体积ViJ ］,并求满足条件Va=-IimV ■:的a .
2 SH⅛c
七•证明题型 (10分)
已知f X与g X均在［a,b］上连续，且在［a,b］上恒有f x乞g x ,但 f X不恒等于g X ,证明：
b b
α f(x)dx jαg(χ)dx
2013 ---2014学年度第二学期
《数学分析2》B试卷
学院________ 班级__________ 学号（后两位）______ 姓名 ______
」、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1. 对任何可导函数fx而言，「xdx=fx i亠C成立。

（）
2. 若函数f（x）在la,b上连续，则F（X）=—f f（tdt必为f（x ）在a,b】上的原函数。

（）
3. 若级数a n收敛，必有Iimna n =0。

（）
n 吕x÷c
4. 若n im 倆=九"，则级数∑Γ a n发散•
" n =1
⅛O
5. 若幂级数二a nχn在X = 2处收敛，则其在［-2,2］上一致收敛.（）
n ⅛
6. 如果f X在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有
b b
If(XdXEf f (x Jdx.(
fc a a
7. 设f X在⅛Λ ::上有定义，则^f（XdX与级数Σ f（n ）同敛散.（）
n A
8. 设f X在a,b任子区间可积, b为f X的暇点，贝U f x dx与
L a
⅛C 丄b -a b-1怜dt同敛散. \、t 丿t2
4.
n 4
级数V 1 _1 n
n d
A.发散
B.绝对收敛
C.
n2n
5. 幕级数务X n
nτ 1 + n
9.设f n X ［在D= a,X0一x0,b上一致收敛，且Iim f
X /0
n X l= a n n N
存在，贝U Iim Iim f n x = Iim Iim f n X .
^^C^XO ^"^o n_
二.单项选择题(每小题3分，共15分)
1.函数f(x)在［a,b］上可积的必要条件是(
2. A连续B 有界下列说法
正确的是(
C 无间断点
)
有原函数
3.
A.
C.
Oo OO
A. 7 a n和7 b n收敛,
n αn T
OO QO
B. 7 a n和V b n发散,
n z i n z!
Oo
7 a n b n也收敛
n A
Oo
(a n b n)发散
n T
OC
C.「a n收敛和J b n发散，7 (a n b n)发散
n珀n £
QQ QQ
D. '、' a n收敛和7 b n发散,
n吕n占
V a n(X)在［a,b］收敛于a(x)，
n A
QO
X a rl(x) =a X B.
n ：!
迂b
-Iaan(X)dx = J a a(X)dx
n A
7 a n b n发散
n d
且a n(x)可导，贝9(
a(x)可导
OCi
D. x' a n(x) 一致收敛,
n A
则a(x)必连续
条件收敛D.不确定
的收敛域为:
A. (-0.5,0.5 )
B.[-0.5,0.5]
C. ∣-0.5,0.5
D. -0.5,0.51
3. lim 1gn(n +1「∣n + (n -1』
n r ：：n ■
b
4. [ 2x —a —bdx
L a
三.求值与计算题（每小题 4分，共16分）
1. Sin XCOSX 2 sin 2 X
dx
四.判别敛散性（每小题4分，共16
分）
1.
:XarCtanx」
〒Xix ；
Oo
3. '
n A
n 1 n1
-bo
4.二n
n =1
15丄
n丿
五. 判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5分，共10分）
六. 应用题型（16分）
1. 试求由曲线y=χ2及曲线y=2-x 2所平面图形的面积
2•将r^c O sχ
dχ表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可
1.
1 _(n +1)x
fn (x )， 0
O _ X _ 1∕(n 1) 1∕(n 1) ：： X 1
n =1,2,
. X ：=
0,1
2.
QO
Σ — n 吕(X
-1nj 2
n
X （」：，
：
：）
0X
使之误差不超过十万分之一•
七.( 9分)证明：若函数项级数7 u n X满足：
(i) D, U n(X)Ig( n=1,2-) ; (ii) Σ 务收敛.则函数项级数V U n X在D上一致收敛•
014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A卷•答案判断题（每小题3分，共21 分）
1. ?
2. ?
3. ?
4. ?
5. ?
6. ?
7.
.单项选择题（每小题3分，共15分）
B, C, C, D, A
三.计算与求值（每小题5分，共10分）
解:原式]-[-
1.
∖∑ ln 1 十
一I I k 二I
I .
exp」Ii砰In 1+k j 丄n
丿n
exp：ln XdX =4e J
2. 原式= In Sinx d tanx
1.
In SinX tanx - tanx cotXdX In Sin X tan x -x C
四∙判断敛散性
TIjm X32
X—）:: （每小题5分，共15分）3Jx T _ 3
1 X X2
1.
2. 由比式判别法
2
而正项级数7 +收敛,
2n
由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.
由柯西判别法知,
OT
收敛。

Iim a
^~1
= Iim n
r ： a n n 匚
n1∙
l "i
=Iim
n
匚 1 T/n
-----=e ' ：：： 1 4 分 该 --5
3.
解：由莱布尼兹判别法知, 交错级数
2n 1
又 ZTye 「2
知其单调且有界,
故由阿贝尔判
----------------------- 5
知，级数收敛.
五.1.解：极限函数为
f X i=Iim f n X in o
n —Jμ3C
f n X - f X =
Sin nx
Iim SuP f n — f =O n —JpC 2. 分
故知该函数列在 D 上一致收敛.
2 n
n
X
解
2 2
n ... n
n _
?n
六.已知一圆柱体的的半径为 R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。

（本题满分10分）
300
-χ2 dx
分=亠
9
10
方程为
=10
故所求立体的体积为:
的
压力微元为：dF =2 10 -x 10 X . dx =2、. 100 - x 2 dx 故所求为
10 2
10（100 _X Jdx
——7 "333∙33^ （吨）
"3066.67（千牛）——10 分
八. 证明：；U nX=CO
s nX
n =1,2… 每一项在」：，•：：上连续,
所以a U n X 在」√
：
:上一致收敛，结合U n X 在」：=上的连续性 可知f X =
色乎S
在-:：，* 上有连续的导函数.
n 分
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》B 试卷
学院 _______ 班级 __________ 学号(后两位) ________ 姓名 _______
二、判断题(每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉)
F = 2. 又 U n X =
GQS
nx 3
n
空丄
n 3
V Gn （X
—
n ——3
故由定理结论知
GQS nx f X —
n
----------------------- 5
：；：「*, 上 致收敛，
上 连 续，
再者U n X ］：= -Sin nx
2
n
1. 若f X为偶函数，贝U f XdX必为奇函数().
X
2. y =sgn(x )为符号函数，则上限函数y= ［sgn(t Jdt在(-OO^^O )上连续 ().
3. 若f X dx收敛，必有IimfX=O ().
a X—⅛÷c
4. 若^n :在区间I上内闭一致收敛，则f ?在区间I上处处收敛().
Oo QO
5. 若二Un(X)在⅛,b 1上内闭一致收敛，贝U二：Un(X)在⅛,b 1上一致收敛
n经n吕
().
QQ
6. 若数项级数Ja n绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对
n A
收敛，并且其和不变().
7. 若函数项级数V Un(X)在a,b 上的某点收敛，且YUn(X)在a,b ］上一致收敛，贝U 7 Un(X)也在⅛,b 上一致收敛().
二.单项选择题(每小题3分，共15分)
1. 函数f (X)是奇函数，且在［-a,a］上可积，则( )
a a a
A — f (x)dx = 2 0 f (x)dx
B ~f(x)dx = 0
a a a
C Jf(X)dx =-2 O f (x)dx
D 』f (x)dx = 2 f (a)
2. 关于积分f Sin^dX ,正确的说法是( )
⅛ 2 ,
XJ-X
A. 此为普通积分
B. 此为瑕积分且瑕点为O
C. 此为瑕积分且瑕点为1
D.此为瑕积分且瑕点为0,1
1
3.就级数a 2I P ( P 0)的敛散性而言，它是( )
n In P n
A. 收敛的
B. 发散的
C. 仅P 1时收
D. 仅P叮时收敛
4.. 函数列Ifn 1在区间I上一致收敛于0的充要条件是()
A.
C.
-χ I, lim f n X A O B.
n—⅛□C
— nN Iim f n X =0 D.
X n I, lim f X n A O
n_^c
lim SUPl f nχ0
n匸：χ.∣
Co 乡门
5.幕级数上丐
n =OV H n
X n的收敛域为:
A. (-0.5,0.5 )
B.[-0.5,0.5]
C. l--0.5,0.5
D. -0.5,0.51
三.求值与计算题(每小题5分，共10分)
1 n
1. lim 一X --------- dx
n ，0 3 ・ 2 2x
VX Sin X + e
2.
2. 设 f (Sin 2x)=-,求『丿Lf(XdX Sin X ' ^-X
四. 判别敛散性（每小题5分，共10分）
CO I
、——1 -
In n
n∑2 In n 1. 1 arctan x .
OL
五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）
1.f n X i n12 ,n =1,2 , D = 0,：：
D= [-1 ,1]
2.V- 2 n Sin
3n
3. Σ,D
六.设平面区域D是由圆Xy=2 ,抛物线y =χ2及X轴所围第一象限部分,
求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）
七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水, 求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）
八.设U n X n =1,2… 是［a,b］上的单调函数，证明：若'∙ U n a A U n b 都绝对收敛，则V U n X在［a,b］上绝对且一致收敛•（本题满分9分）。