小球在空气阻力下弹跳实验的建模与仿真

第３１卷第４期大学物理实验
Ｖｏｌ.３１Ｎｏ.４２０１８年８月
ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥ
Ａｕｇ.２０１８
收稿日期:２０１８￣０３￣１５
基金项目:江苏省现代教育技术研究课题(２０１８￣Ｒ￣６３８１４)
文章编号:１００７￣２９３４(２０１８)０４￣００６９￣０４
小球在空气阻力下弹跳实验的建模与仿真
张㊀林
(南京林业大学ꎬ江苏南京㊀２１００３７)
摘要:使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件ꎬ建立了小球在空气阻力下反复弹跳的实验模型ꎬ讨论了小球在不同空气阻尼系数下的位移和速度ꎬ加深了学生对质点落体运动以及碰撞问题的认识ꎮ关
键
词:弹跳运动ꎻＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋꎻ空气阻尼
中图分类号:Ｏ４￣３９
文献标志码:Ａ
ＤＯＩ:１０.１４１３９/ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１８.０４.０１８
㊀㊀物体在空气中运动时ꎬ会受到空气阻力ꎬ阻力的方向与速度方向相反ꎮ研究表明[１ꎬ２]:空气对运动物体的阻力大小ꎬ与物体运动的速度有关ꎮ
当物体做低速运动时ꎬ空气阻力正比于物体的运动速率ꎻ当物体高速运动时ꎬ它所受到的空气阻力则正比于速率的平方ꎮ这个结论只适用于特定的实验环境ꎬ因为物体所受的空气阻力还会受到其形状㊁大小㊁密度㊁光滑度以及环境等诸多因素[３￣７]的制约ꎬ因此在不同时间㊁地点下测量ꎬ可能会得到不同的结论ꎮ所以ꎬ我们希望通过Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真软件建立小球在不同空气阻尼系数下做弹跳运动的虚拟实验模型ꎬ通过改变模型中的控制参数ꎬ来研究小球的运动状态ꎬ从而加深学生对质点动力学问题的认识和理解ꎮ１㊀小球弹跳实验的动力学方程
考虑一个质量为ｍꎬ可看成质点的刚性小球ꎬ在地面上反复弹跳ꎬ以地面为坐标原点ꎬ竖直向上为正方向ꎬ建立一维的坐标系ꎬ如图１所示ꎮ
图１　小球的下落和上升过程
图左(右)边分别表示小球在下落(上升)过程中所受到的重力ｍｇ和空气阻力ｆ＝ｋ｜ｖ｜αꎬ其中｜ｖ｜表示小球的速率ꎬｋ是空气阻尼系数ꎬα是空气阻尼指数因子ꎮ
根据牛顿第二定律ꎬ小球下落过程的动力学方程可表示为:ｍａ＝－ｍｇ＋ｋ｜ｖ｜α(１)
同理ꎬ上升过程的动力学方程可表示为ｍａ＝－ｍｇ－ｋ｜ｖ｜α(２)利用小球下落过程的速度ｖ<０ꎬ上升过程ｖ>０ꎬ可以合并(１)式和(２)式:
ｍａ＝－ｍｇ－ｋｖ｜ｖ｜α－１即ａ＝－ｇ－
ｋ
ｍ
ｖ｜ｖ｜α－１(３)若小球不受到空气阻力(ｋ＝０)时ꎬ则小球在竖直方向做自由落体运动ꎬ其运动方程可表示为:
ｘ(ｔ)＝ｘ０＋ｖ０ｔ＋１
２
ｇｔ２(４)
若空气阻尼指数因子α＝１时ꎬ其运动方程为:
ｘ(ｔ)＝ｘ０－ｍｋｇｔ＋ｍｋｖ０＋ｍｋｇæ
è
çöø÷１－ｅ－ｋｔｍ()
(５)
其中ｘ０表示小球的初始位置ꎬｖ０表示初速度ꎮ在实际过程中ꎬ空气阻尼指数因子α取非整数ꎬ则(３)式没有解析解ꎬ只能得到数值解ꎬ因此通过Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真平台来模拟小球真实的运动过程是非常有效的ꎮ
另外ꎬ小球与地面的碰撞是非弹性碰撞ꎬ其第ｉ次碰撞的恢复系数可定义为:
β＝ｖｉ
ｖｉ
０
(６)
其中ｖｉ
０和ｖｉ分别表示小球与地面碰撞前后的
初速度和末速度ꎬ因为ｖｉ
０<０且ｖｉ>０ꎬ则碰撞恢复系数的取值范围是－１£β£０ꎮ若β＝－１表示完全弹性碰撞ꎬβ＝０则表示完全非弹性碰撞ꎮ
２㊀小球弹跳实验的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ建模与仿真
㊀㊀将使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真软件ꎬ对小球在空气阻力下的动力学方程(３)式进行建模ꎬ并得到小球在不同的实验条件下的运动状态ꎮ
在图２所示的Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真框图中ꎬ建立一个常数模块ｇꎬ设置为(３)式中小球的重力加速度ꎮ因为小球的加速度ａ依赖于速度ｖꎬ因此需要建立一个二阶积分(ＩｎｔｅｇｒａｔｏｒＳｅｃｏｎｄ￣
Ｏｒｄｅｒ)模块ꎬ通过设置外触发模式ꎬ来设置小球的初速度ｖ０和初位置ｘ０ꎬ并且将瞬时速度ｖ取绝对值｜ｖ｜ꎬ并经过幂乘因子α－１ꎬ与重力加速度加减组合ꎬ就能实现(３)式等号的右边ꎬ再作为输入量循环积分ꎬ便能得到小球在空气阻力下运动的位移和速度ꎬ并通过虚拟示波器Ｓｃｏｐｅ输出图像ꎮ
另外ꎬ对于小球与地面之间非弹性碰撞的处理ꎬ我们是通过一个记忆(Ｍｅｍｏｒｙ)模块和一个增益(Ｇａｉｎ)模块来实现的ꎮ当小球位移不为０时ꎬ初速度将保持上一个记忆ꎬ否则将按照(５)式ꎬ碰撞前的速度乘上恢复系数βꎬ得到碰撞后的速度ꎬ重新计算小球上升过程的运动方程和速度ꎮ
在完成Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ建模后ꎬ为了得到小球的运动方程和速度ꎬ需要设定虚拟实验的参数:取小球质量ｍ为０.００３ｋｇꎬ重力加速度ｇ＝－９.８ｍ/ｓꎬ小球的初位置ｘ０＝１０ｍꎬ初速度ｖ０＝１５ｍ/
ｓꎮ
图２㊀小球在空气阻力下运动的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真框图
㊀㊀
图３是不考虑空气阻力ｋ＝０ꎬ且小球与地面发生完全弹性碰撞(恢复系数β＝－１)时的仿真图像ꎮ上图是小球的位置ｘ随时间ｔ的变化曲线ꎬ下图是小球的速度ｖ与时间ｔ的曲线ꎮ从图中可
以看出ꎬ位置与时间满足ｘ＝ｘ０＋ｖ０ｔ＋１２
ｇｔ２
的经典关系ꎬ当ｔ＝
ｖ０ｇ
＝１.５３ｓꎬ小球的速度等于０ꎬ并且
０
７小球在空气阻力下弹跳实验的建模与仿真
处于最高点２１.５ｍꎮ当ｔ＝３.６ｓ时ꎬ小球第一次下落到地面ｘ＝０且速度达到负的最大ｖ＝－２０.５ｍ/ｓꎬ并与地面发生弹性碰撞ꎬ以原速度大小反方向弹起ꎬ
然后作高度不衰减的周期性弹跳运动ꎬ其弹跳周期近似为４.１４
ｓꎮ
图３㊀空气阻尼系数ｋ＝０Ｎｓ/ｍꎬ且恢复系数β＝－１.０时ꎬ
小球的位置和速度曲线
图４㊀阻尼系数ｋ＝０.００１Ｎｓ/ｍꎬα＝１.１且恢复系数β＝－０.８时ꎬ小球的位置和速度曲线
１
７小球在空气阻力下弹跳实验的建模与仿真
㊀㊀图４是空气阻尼系数ｋ＝０.００１Ｎｓ/ｍꎬα＝１.１且小球与地面发生非弹性碰撞(恢复系数β＝－０.８)时的仿真图像ꎮ如图所示ꎬ虽然位置ｘ仍然近似满足抛物线型曲线ꎬ但是由于空气阻力的存在ꎬ小球运动的最高点要小于２０ｍꎮ另一方面ꎬ由于小球与地面的碰撞是非弹性碰撞ꎬ存在机械能Ｅ的损失ꎬ这也加剧了小球反弹后的高度和速度不断地衰减ꎬ经过有限次数的碰撞后ꎬ小球最终会停止运动ꎮ小球的机械能Ｅ随时间ｔ的变化ꎬ也可以从弹跳最大高度的变化估算出:Ｅ~ｅ－ｋｔｍꎬ这与理论结果(５)式是近似符合的ꎮ此外ꎬ小球与地面的碰撞时间间隔也会随着碰撞次数的增加而不断地减小ꎮ
３㊀结㊀论
利用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件构建了小球在空气阻力下做落体运动的虚拟实验模型ꎬ讨论了小球在无空气阻力ꎬ且与地面发生完全弹性碰撞的无阻尼弹跳ꎬ以及存在空气阻力ꎬ且有碰撞能量损失的阻尼弹跳ꎬ仿真结果与经典理论相符合ꎬ加深了学生对质点动力学问题的认识和理解ꎮ
参考文献:
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ＭｏｄｅｌｉｎｇａｎｄＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆａＢｏｕｎｃｉｎｇＢａｌｌＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
ｕｎｄｅｒＡｉｒＦｒｉｃｔｉｏｎＦｏｒｃｅ
ＺＨＡＮＧＬｉｎ
(ＮａｎｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＪｉａｎｇｓｕＮａｎｊｉｎｇ２１００３７)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＴｈｅＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋｓｏｆｔｗａｒｅｗａｓｕｓｅｄｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈａｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｂａｌｌｂｏｕｎｃｅｄｒｅ￣ｐｅａｔｅｄｌｙｕｎｄｅｒａｉｒｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ.Ｔｈｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｎｄｖｅｌｏｃｉｔｙｏｆｔｈｅｂａｌｌｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｉｒｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｗｅｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄꎬｗｈｉｃｈｄｅｅｐｅｎｅｄｓｔｕｄｅｎｔｓ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｔｈｅｐａｒｔｉｃｌｅｆａｌｌｉｎｇａｎｄｃｏｌｌｉｓｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｂｏｕｎｃｉｎｇｂａｌｌꎻＭａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋꎻａｉｒｄａｍｐｉｎｇ
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