第12讲-二次函数的零点与最值

第十二讲 二次函数的零点与最值

知识归纳和梳理：

1.一元二次方程的根即二次函数的零点也是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标

2.解决二次函数零点问题的方法：

（1）转化为⎩⎨⎧韦达定理判别式

（零点的正负问题）

（2）结合二次函数的图象等价转化为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧特殊函数值符号判别式符号对称轴位置开口方向的不等式组 3.解二次函数的最值问题的方法:

（1）分离参数转化为函数的值域

(2)讨论对称轴和区间的关系

4．恒成立问题的解决方法：)(x f a >恒成立max )(x f a >⇔（具体情况还要分析能否取”=”）

)(x f a ≤恒成立min )(x f a ≤⇔

【典型例题】：

例1.已知方程023222

=---k x kx 有两个不相等的实根21x x 、

（1）若12,x x 都小于零，求k 的取值围； （2）若12,x x 都小于1，求k 的取值围；

（3）若121x x <<，求k 的取值围； （4）若1220x x -<<、，求k 的取值围；

（5）恰有一根在（1，2）区间，求k 的取值围。

例2. 若二次函数12

-+-=mx x y 的图像与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值围。

经典练习1,2

1.若一元二次方程0332

=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值围。

2. 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值围。

3. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（-1、1），求k 的取值围。

4.设⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=121|

x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，若B A ⊆，数a 的取值围

例3..求函数2

2242)(a x x x f --=在区间]1,[+a a 上的最小值

例4．求函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最大值

经典练习3,4

1.函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最小值为-2求a

2.已知函数122)(2++--=a ax x x f ,若]1,1[-∈x ,记函数的最小值为)(a g ,写出)(a g 的解析式.

例5.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，数a 的取值围

经典练习5

不等式0626922≥--+-a a ax x 在3

131≤≤-

x 恒成立,数a 的取值围.

【巩固练习】：

一、基础训练题：

1.设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是（ ）

1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，数m 的取值围。

2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，数m 的取值围。

3、已知二次函数()()()2

22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，数m 的取值围。

4、已知二次方程()2

2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，数m 的取值围。

5、若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值围。

6、已知函数a a ax x y 44422--+-=在10≤≤x 有最大值-5,数a

7、求函数322+-=x x y 在区间],0[a 上的最值.

二、能力提高题：

1.若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值围。

2.若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，数a 的取值围。

3.（2011高二水平测20）已知

13

1≤≤a 若函数x ax x f 2)(2-=在[]3,1上的最大值为)(a M ，最小值为

)(a N ，令).()()(a N a M a g -=

（1）求)(a g 的表达式；

（2）若关于a 的方程0)(=-t a g 有解，数t 的取值围。

4、设关于x 的不等式012>+++a x x a 恒成立,数a 的取值围.

6.（2010理数）16设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+

⎪⎝⎭

恒成立，则实数m 的取值围是 .

课后作业：

1、k 在何围取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

2、已知关于x 的二次方程x 2

+2mx +2m +1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)，另一根在区间(1，2)，求m 的围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)，求m 的围.

3、若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对任意实数x 都成立,数a 的取值围.