集合与映射

1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 集合 组成集合的这些事物称为集合的元素（ 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． 元素 ） 常用大写字母A、 、 等表示集合； ☆ 常用大写字母 、B、C 等表示集合； 用小写字母a、 、 等表示集合的元素． 用小写字母 、b、c 等表示集合的元素． 是集合A的元素时 当a是集合 的元素时，就说 属于 ，记作 a ∈ A ； 是集合 的元素时，就说a 属于A， 不是集合A的元素时 不属于A， 当a不是集合 的元素时，就说 不属于 ，记作 a ∉ A . 不是集合 的元素时，就说a不属于
{φ }
≠ φ
约定： 约定： 空集是任意集合 的子集合. 的子集合
§6.1 集合 映射
2、集合间的关系
☆ 如果B中的每一个元素都是 中的元素，则称B是 如果 中的每一个元素都是A中的元素，则称 是 中的每一个元素都是 中的元素 A的子集（subset），记作 B ⊆ A ，（读作 包含 的子集（ ） ，（读作B包含 读作 A） 于A）.
§6.1 集合 映射
是一个集合， 例4 M是一个集合，定义 ： 是一个集合 定义I： I(a)＝a ， ＝
∀a ∈ M
上的元素映到它自身， 是一个映射， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 称 I 为 M 上的恒等映射（identity mapping）或 上的恒等映射 恒等映射（ ） 单位映射． 单位映射． 任意一个在实数集R上的函数 例5 任意一个在实数集 上的函数 y＝f(x) 都是实数集R到自身的映射， 都是实数集 到自身的映射， 到自身的映射 即，函数可以看成是映射的一个特殊情形． 函数可以看成是映射的一个特殊情形．
§6.1 集合 映射
是一个集合， （7）M是一个集合，定义 ： ） 是一个集合 定义I： I(a)＝a， ∀a ∈ M ＝ ， （8）M=Z，M´＝2Z， ） ， ´ σ：σ(n)＝2n, ： ＝
（双射） 双射）
∀n ∈ Z
（双射） 双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射 σ : M → M ', 若有映射 τ : M ' → M , 使得 τ o σ = I M ,σ o τ = I M ′ 则称σ为可逆映射（ 则称 为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的 ） 为 的 逆映射，记作σ 逆映射，记作 －1．
§6.1 集合 映射
例6 判断下列映射的性质 ＝｛a， ， ｝、 ＝｛1,2， ｝ ｝、M´ （1）M＝｛ ，b，c｝、 ´＝｛ ，3｝ ） ＝｛ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 （既不单射，也不是满射） ： ＝ ， ＝ ， ＝ 既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射） ： ＝ ， ＝ ， ＝ 双射） （2）M=Z，M´＝Z＋， ） ， ´ ∀n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ： ＝ ＋
即σ为单射 为单射. 为单射 所以． 为 对应 对应． 所以．σ为1-1对应．
§6.1 集合 映射
证明： 例7 设映射 f : A → B, g : B → C ,令 h = g o f ，证明： 是单射， 也是单射； （1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射； ） 不是单射， 证：若 f 不是单射，则存在 a1 , a2 ∈ A, 且a1 ≠ a2 ,
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 集合的表示方法一般有两种：描述法、 描述法（description）： 描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. 给出这个集合的元素所具有的特征性质 M＝｛ | x具有性质 ｝ ＝｛x 具有性质 具有性质P｝ ＝｛ 列举法（enumeration）： 列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. 把构成集合的全部元素一一列举出来 M＝｛ 1，a2，…，an｝ ＝｛a ＝｛ ，
∃x = σ −1 ( y ) ∈ M , 使y = σ ( x ). 即,
所以σ为满射 所以 为满射. 为满射 其次， 其次，对 ∀x1 , x2 ∈ M , 若σ ( x1 ) = σ ( x2 ) ，则
x1 = IM(x1) = σ −1 oσ(x1) = σ −1(σ(x1)) = σ −1(σ(x2 )) = σ −1 o σ ( x 2 ) = I M ( x 2 ) = x 2
σ −1 (a′) = a . 则有
对应． 3. σ 为可逆映射的充要条件是 σ 为1-1对应． 对应
§6.1 集合 映射
对应， 证：若映射 σ : M → M ' 为1-1对应，则对 ∀y ∈ M ' 对应 均存在唯一的 x ∈M ，使σ(x)＝y，作对应 ＝ ，
τ : M′ → M
τ ( y ) = x, 这里σ ( x ) = y
σ的逆映射是由 唯一确定的 的逆映射是由σ唯一确定的 的逆映射是由
§6.1 集合 映射
注意
1. 若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且 为可逆映射， 也为可逆映射， 为可逆映射 （σ－1）－1＝σ． ． 为可逆映射， 2. σ : M → M ' 为可逆映射，a ∈ M ，若 σ ( a ) = a ',
§6.1 集合 映射
例1 例2 例3
M = {( x , y ) x 2 + y 2 = 4, x , y ∈ R}
N＝ {0,1,2,3,LL}， ＝ {0, ±2, ±4, ±6,LL} ＝ 2Z
M = { x x 2 − 1 = 0, x ∈ R} = { −1,1}
空集：不含任何元素的集合， ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为 φ ． 注意
∀a ∈ P
（是单射，但不是满射） 是单射，但不是满射）
a （5）M、M´为任意非空集合， 0 ∈ M ′ 为固定元素 ） 、 ´为任意非空集合，
σ：σ(a)＝a0， ∀a ∈ M ： ( )＝ （6）M＝M´＝P[x]，P为数域 ） ＝ ´ ， 为数域
（是满射，但不是单射） σ：σ(f (x))＝f ´(x)， ∀f ( x ) ∈ P[ x ] 是满射，但不是单射） ： ＝ ， （既不单射，也不是满射） 既不单射，也不是满射）
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义， 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 个描述性的说明 ． 集合论的创始人是 世纪中期德 国数学家康托尔（ ． 国数学家康托尔 （ G． Cantor） ， 他把集合描述为 ： ） 他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的， 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的 ，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果 ； 集合中的那些事物就称为集合的元素． 集合中的那些事物就称为集合的元素 ．即 ，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
注意 1. 对于任意映射 σ
: M → M '，有
பைடு நூலகம்
I M′ o σ = σ o I M = σ
''' 2. 设映射 σ : M → M ', τ : M ' → M '', ψ : M '' → M，
有 (ψ
o τ ) o σ = ψ o (τ o σ ).
§6.1 集合 映射
3、映射的性质
设映射 σ : M → M '
则τ是一个 ´到M的映射 且对 ∀x ∈ M , 若σ ( x) = y, 是一个M´ 的映射, 是一个 的映射
则 τ o σ ( x) = τ (σ ( x)) = τ ( y) = x = I M ( x), 即 τ o σ = I M ；
∀y ∈ M ′, 若y= σ ( x ), 有τ (y)= x
∀a1 , a2 ∈ M , 若a1 ≠ a2 , 则σ (a1 ) ≠ σ (a2 )
（或 ∀a1 , a2 ∈ M , 若σ (a1 ) = σ (a2 ), 则a1 = a2 ）， 则称σ是M到M´的一个单射（injection）或称 单射（ 则称 是 到 ´的一个单射 ）或称σ 为1-1（one to one）； （ ） 既是单射， （3）若σ既是单射，又是满射，则称 为双射 ） 既是单射 又是满射，则称σ为 或称σ为 对应） （bijection）, （或称 为 1-1对应）. ） 对应
' （1）若 Im σ = M ，即对于任意 y ∈ M ' ，均存在 ）
x ∈ M ，使 y = σ ( x ) ，则称 σ 是M到M´的一个满射 到 ´的一个满射
（surjection）或称 σ为映上（onto）的； ） 为映上（ ）
§6.1 集合 映射
中不同元素的象也不同， （2）若M中不同元素的象也不同，即 ） 中不同元素的象也不同
§6.1 集合 映射
注意
1.设映射 1.设映射 σ : M → M ' , 集合
σ ( M ) = {σ (a ) a ∈ M }
称之为M在映射 下的象，通常记作 Imσ． 称之为 在映射σ下的 在映射 下的象 显然， 显然，Imσ ⊆ M ' 2. 集合 到M 自身的映射称为 的一个变换． 集合M 自身的映射称为M 的一个变换 变换．
B ⊆ A 当且仅当 ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A
如果A、 两集合含有完全相同的元素 两集合含有完全相同的元素， ☆ 如果 、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 与 B相等，记作 ＝B . 相等， 相等 记作A＝ A＝B当且仅当 A ⊆ B且 B ⊆ A ＝ 当且仅当
§6.1 集合 映射
3、集合间的运算
（是满射，但不是单射） 是满射，但不是单射）
，（P为数域 ´ ，（ 为数域） （3）M＝ P n×n ，M´＝P，（ 为数域） ） ＝ σ：σ(A)＝|A|， ∀A ∈ P n×n ： ＝ ，
§6.1 集合 映射
（是满射，但不是单射） 是满射，但不是单射）
为数域, 为数域 为 级单位矩阵 （4）M＝P，M´＝P n×n , P为数域 E为n级单位矩阵 ） ＝ ， ´ τ：τ(a)＝aE， ： ＝ ，
第六章 线性空间
§1 集合·映射 集合· §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 维数· §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.1 集合·映射 集合·
一、集合 二、映射
§6.1 集合 映射
一、集合(set) 集合(set)
交： I B = { x x ∈ A且x ∈ B } ； A
A 并： U B = { x x ∈ A或 x ∈ B } ；
A 显然有， 显然有， I B ⊆ A; A ⊆ A U B
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的非空集合，如果有 一个对 、 ´是给定的非空集合， 应法则σ，通过这个法则 对于 的每一个元素a， 对于M的每一个元素 应法则 ，通过这个法则σ对于 的每一个元素 ， 都有M´中一个确定的元素a´与它对应 则称 σ为 都有 ´中一个确定的元素 ´与它对应, 为 M到M´的映射（mapping），记作σ : M → M' . 到 ´ 映射（ ） 在映射σ下的 下的象 称 a´为 a 在映射 下的象（image），而 a称a´在 ´ ） 称 ´ 映射σ下的原象（ 映射 下的原象（inverse image），记作 下的原象 ） 记作σ(a)＝a´ ＝ ´ 或 σ : a a a′ .
§6.1 集合 映射
2、映射的乘积
设映射 σ : M → M ', τ : M ' → M '' ， 乘积
τ oσ
定义为： 定义为：
τ oσ(a)＝τ(σ(a)) ＝
即相继施行σ和 的结果 的结果， 即相继施行 和τ的结果，τ 映射． 映射．
∀a ∈ M
o σ 是 M 到 M" 的一个
§6.1 集合 映射
则σ o τ ( y) = σ (τ ( y)) = σ ( x) = y = I M ′ ( y),
为可逆映射． ∴σ为可逆映射． 为可逆映射
§6.1 集合 映射
即 σ oτ = IM ′
反之， 为可逆映射， 反之，设 σ : M → M ′ 为可逆映射，则
对∀y ∈ M ′, 有y = σ o σ −1 ( y ) = σ (σ −1 ( y ))