第二章平面汇交力系的合成平衡
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平面汇交力系的合成与平衡
y
一、力在坐标轴上的投影：
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
b´ F a´
B
y
F Fx
b x
O
a
结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向： Fy 2 2 t an F Fx Fy Fx
• 投影的正负号规定如下： • 从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴的正向 一致时，该投影取正号；与坐标轴的正向相反 时取负号。 • 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投影均为正， (b) 中，F在x，y轴上的投影均为负。
y b'
Fy
y B β A x a Fx (a) b O b'
Fy
B β A x a Fx (b) b
F
α
F
α
a' O
a'
• 结论： • （1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； • （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大 小相等 • （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
• 力的投影计算举例 • 例1：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N， F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 • 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N • Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N • Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 NFy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N • Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N • Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866 • = -173.2 N • Fx4= F4cos 90°=0 • Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
根据合力投影定理得
FR y Fy1 Fy 2 Fy3 Fy
合力的大小
FR
2 2 FRx FRy
Fx
2
Fy
2
合力R 的方向
t an
FRY FRX
FY FX
例题3
• 用解析法求图示平面汇交力系的合 解： 力
FR
0 0 Fx1 F1 cos30 Fx2 F2 cos60 ; 0 0 F F sin 30 F F sin 60 y 1 1 y 2 2 0 0 F F cos 45 F F cos 45 x3 x4 3 4 ; 0 0 F F sin 45 F F sin 45 3 4 y3 y4
F
x
0
F
y
0
例4 图示三角支架，求两杆所受的力。
解：取B节点为研究对象，画受力图
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBC sin300 P 0
解得： N BC 2P 60KN 负号表示假设的指向与真实指向相反。 由 ∑X = 0 ，建立平衡方程： NBA NBC
NBC cos300 NBA 0 3 解得： N BA N BC (60) 0.866 52 KN 2
FRx Fx 129.3N FRy Fy 112.3N
2 2 FR FRx FRy 171.3N
arctg F
FRy
Rx
arctg
112.3 0 40.975 129.3
三、平面汇交力系平衡的充要解析条件：
力系中所有各力在任意坐标轴上投影的代数 和分别等于零。 平面汇交力系的平衡方程:
二、合力投影定理： 合力在某一坐标轴上的投影，等于各分力在 同一轴上的投影的代数和。 证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力 F1、F2、F3 如图。 F
1
B
F1 A F2
A
F2
C R
D F3 x
(b)
F3
(a)
各力在x 轴上投影：
FX 1 ab
FX 2 bc FX 3 dc
F1
A R
B
F2 C
合力 R 在x 轴上投影：
D
a
F3 x
FRx ad ab bc dc FR x FX1 FX 2 FX 3
b d c (b)
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的空间共 点力系，可得：
FRx Fx1 Fx 2 Fx3 Fxn Fx
相反。即杆AB 实际上受拉力。
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表 示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解平面汇交力系平衡问题的 一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。 2.建立坐标系。 3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
•力矩与平面力偶系
• [例2]试分别求出下图中各力在x轴和y轴上的投影。 已知F1=100N，F2=150N，F3=F4=200N，各力 的方向如图所示。
• • • • • • • • • •
解：由公式可得各力 在x，y轴上的投影为： FY1=F1sin45°=100N×0.707=70.7N FX1=-F1cos45°=-100N×0.707=-70.7N FX2=-F2cos30°=-150N×0.866=-129.9N FY2=-F2sin30°=-150N×0.5=-75N FY3=-F3sin90°=-200N×1=-200N FX3=F3cos90°=200N×0=0 FY4=-F4sin60°=-200N×0.866=-173.2N FX4=F4cos60°=200N×0.5=100N
P
例 5
图(a)所示体系，物块重 P = 20 kN ，不计滑轮
的自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。
解：1.
取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
2、列出平衡方程：
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
解得：
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
解得： 反力NBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向
y
一、力在坐标轴上的投影：
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
b´ F a´
B
y
F Fx
b x
O
a
结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向： Fy 2 2 t an F Fx Fy Fx
• 投影的正负号规定如下： • 从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴的正向 一致时，该投影取正号；与坐标轴的正向相反 时取负号。 • 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投影均为正， (b) 中，F在x，y轴上的投影均为负。
y b'
Fy
y B β A x a Fx (a) b O b'
Fy
B β A x a Fx (b) b
F
α
F
α
a' O
a'
• 结论： • （1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； • （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大 小相等 • （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
• 力的投影计算举例 • 例1：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N， F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 • 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N • Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N • Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 NFy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N • Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N • Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866 • = -173.2 N • Fx4= F4cos 90°=0 • Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
根据合力投影定理得
FR y Fy1 Fy 2 Fy3 Fy
合力的大小
FR
2 2 FRx FRy
Fx
2
Fy
2
合力R 的方向
t an
FRY FRX
FY FX
例题3
• 用解析法求图示平面汇交力系的合 解： 力
FR
0 0 Fx1 F1 cos30 Fx2 F2 cos60 ; 0 0 F F sin 30 F F sin 60 y 1 1 y 2 2 0 0 F F cos 45 F F cos 45 x3 x4 3 4 ; 0 0 F F sin 45 F F sin 45 3 4 y3 y4
F
x
0
F
y
0
例4 图示三角支架，求两杆所受的力。
解：取B节点为研究对象，画受力图
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBC sin300 P 0
解得： N BC 2P 60KN 负号表示假设的指向与真实指向相反。 由 ∑X = 0 ，建立平衡方程： NBA NBC
NBC cos300 NBA 0 3 解得： N BA N BC (60) 0.866 52 KN 2
FRx Fx 129.3N FRy Fy 112.3N
2 2 FR FRx FRy 171.3N
arctg F
FRy
Rx
arctg
112.3 0 40.975 129.3
三、平面汇交力系平衡的充要解析条件：
力系中所有各力在任意坐标轴上投影的代数 和分别等于零。 平面汇交力系的平衡方程:
二、合力投影定理： 合力在某一坐标轴上的投影，等于各分力在 同一轴上的投影的代数和。 证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力 F1、F2、F3 如图。 F
1
B
F1 A F2
A
F2
C R
D F3 x
(b)
F3
(a)
各力在x 轴上投影：
FX 1 ab
FX 2 bc FX 3 dc
F1
A R
B
F2 C
合力 R 在x 轴上投影：
D
a
F3 x
FRx ad ab bc dc FR x FX1 FX 2 FX 3
b d c (b)
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的空间共 点力系，可得：
FRx Fx1 Fx 2 Fx3 Fxn Fx
相反。即杆AB 实际上受拉力。
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表 示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解平面汇交力系平衡问题的 一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。 2.建立坐标系。 3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
•力矩与平面力偶系
• [例2]试分别求出下图中各力在x轴和y轴上的投影。 已知F1=100N，F2=150N，F3=F4=200N，各力 的方向如图所示。
• • • • • • • • • •
解：由公式可得各力 在x，y轴上的投影为： FY1=F1sin45°=100N×0.707=70.7N FX1=-F1cos45°=-100N×0.707=-70.7N FX2=-F2cos30°=-150N×0.866=-129.9N FY2=-F2sin30°=-150N×0.5=-75N FY3=-F3sin90°=-200N×1=-200N FX3=F3cos90°=200N×0=0 FY4=-F4sin60°=-200N×0.866=-173.2N FX4=F4cos60°=200N×0.5=100N
P
例 5
图(a)所示体系，物块重 P = 20 kN ，不计滑轮
的自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。
解：1.
取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
2、列出平衡方程：
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
解得：
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
解得： 反力NBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向