2013张宇讲座讲义

2013年张宇考研数学

内部讲义

————科学备战 决胜考研 【编者按】

全国著名考研辅导专家 张宇老师简介

【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家，高数辅导第一人，考研数学“题源教学法”创始人，在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编。他编著的《考研数学高等数学18讲》等书在全国畅销，在上海创造3个小时销售800册以上的佳绩。

【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验，总结出一套全国绝无仅有的独特数学教学方法，让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。其教学过程科学严谨、大气磅礴、高屋建瓴，却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。让学生学到真正的数学概念、思想与方法，从而全面决胜考研数学。“听张宇老师讲课，是一种真正的享受，回味无穷。”—这是众多考生的心声。

【3】张宇老师全程答疑地址—新浪微博：/zhangyumaths

【4】张宇老师郑重声明：在长沙市为启航考研独家授课。

◇张宇2013年考研数学辅导系列丛书◇

《考研数学高等数学18讲》，张宇编著. 北京理工大学出版社

《考研数学线性代数10讲》，张宇，姜晓千编著. 北京理工大学出版社

《考研数学概率统计8讲》，张宇，张伟编著. 北京理工大学出版社

《考研数学新复习全书》，张宇总主编.清华大学出版社

《考研数学大纲解析》，教育部考试中心，张宇（高数部分）高等教育出版社 《考研数学命题规律探析与解题思路点拨》，张宇编著. 高等教育出版社

《考研数学考试大纲配套试题解析》，张宇编著.高等教育出版社

《考研数学题源探析经典1000题》，张宇主编. 北京理工大学出版社

《考研数学历年真题分析与演练》， 张宇主编. 北京理工大学出版社

《考研数学最后冲刺28招》， 张宇编著. 北京理工大学出版社

《高等数学（同济六版）习题解析与考研指导》张宇总主编 北京邮电大学出版社

第一讲 告诉你一个真正的考研数学

当2011年1月16日8点30分开考铃声响起的时候，二零一零年考研数学的试卷终于露出她的庐山真面. 下面，请你认真跟着我看看试卷的第一题，我坚信，你能够从这个问题的详细分析中了解一个真正的考研数学. 我们开始.

（一）从一个最新考题说起

【2011年考研真题】已知当时，0x →()3sin sin 3f x x x =−与是等价无穷小，则（ ）

k cx （A ） （B ） （C ）1,4k c ==1,4k c ==−3,4k c == （D ）3,4k c ==− 不管你是否已经忘记了函数极限计算的方法，请先浏览一下此题的解答，该题如果用洛必达法则求解如下：由题意，有

细数一下，我们用了三次洛必达法则才得出了答案，这就是最新的一个考研数学题. 做完这个题，是不是就可以说我们了解了考研数学呢？远远不够. 且再看一题：

【2009年考研真题】已知当时，0x →()sin f x x ax =−与是等价无穷小，则（ ）

2()ln(1)g x x bx =−（A ）11,6a b ==− （B ）11,6a b == （C ）11,6a b =−=− （D ）11,6

a b =−= 请你对比看，这两个题目何其相似！我们能不能从这两个几乎一样的题目中去寻找考研数学背后那“不以人的意志为转移的规律”呢？请注意下面的分析思路.

以上的分析至少给了我们两个重要启发：

（1）考研数学题是有规律可循的，且这种规律“不以人的意志为转移”，抓住这种规律，你就抓住了复习的方向；

（2）考研数学题有“基础性”的解法（比如上面的洛必达法则）；也有“技术性”的解法（比如上面的泰勒公式），在把握“基础性”解法的条件下，掌握“技术性”解法，才能够技压群雄，稳操胜券.

（二）考研数学复习的三种境界

接着上一节的分析，我们以“用洛必达法则求函数的极限”为例，把大家在考研复习过程中对一个知识掌握的程度分成三种境界.

第一种境界，叫“朦胧地感知”，感知（feeling ）往往是指当你复习到一个概念、公式或者结论时，只是形式上知道或者了解它而已. 比如，你了解到的洛必达法则是——在某种，也就是可以通过分子分母同时求导去解决，仅此而已. 举个例子， 00cos sin lim lim 11

x x x x e x e x x →→−+=洛 这就解决问题了.

第二种境界，叫“清晰地再现”， 再现（reappearance ）的前提是忠实于事实本身,不可以有任何的偏差和走样. 我们至少要达到这种境界，才有可能顺利通过考试. 继续研究洛必

达法则，看个例子，如何计算201sin

lim x x x x →⋅？如果我们只知道通过分子分母同时求导去解决，则

20011sin

2sin cos lim lim 1x x x x 1x x x x

→→⋅⋅−= 右边这个极限是不存在的，所以得出结论201sin lim x x x x →⋅不存在. 这显然是错误的，因为事实上，根据“无穷小与有界量的积是无穷小”，则

01sin lim 1sin

lim 020=⋅=⋅→→x

x x x x x x 是存在的.

我们看到，如果使用洛必达法则，算出来是不存在；而事实上人家是存在的，怎么会出现矛盾呢？

果)()(lim x F x f a x ′′→不存在也不为，是不能推出∞)

()(lim x F x f a x →不存在也不为∞的，简单一点说就是：对于))((lim )()(x F x f x F x f a x a x ′′=→→lim

，“右存在，则左存在；但左存在，并不意味着右一定存在”. 这是一个很细致，很隐蔽的问题，稍不注意就可能出错.