2021-2022年高二数学期初考试试题

2021年高二数学期初考试试题

一、填空题（每小题5分，共计70分.请将答案写在答题纸指定区域）

1.已知全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c}，则C U（A∪B）等于

解：∵A={a，b}，B={b，c}，∴A∪B={a，b，c}，则∁U（A∪B）={d}，

2．不等式x2﹣4x+3≤0的解集为

解：（1）原不等式等价于（x﹣1）（x﹣3）≤0，

所以不等式的解为1≤x≤3，

即不等式x2﹣4x+3≤0的解集为{x|1≤x≤3}．…（5分）

3．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=

【考点】两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系．

解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．

【点评】本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．4．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．求BC的长为

解：由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，

所以BC=．

【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．

5．已知数列{a n}成等比数列，若a2=4，a5=，则数列{a n}的通项公式为

解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=4，a5=，

∴，解得a1=8，q=．∴a n==2n+2．．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，则b=

解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心（1，1），半径r==2，

∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，

∴圆心（1，1）到直线3x+4y=b的距离d==2，解得b=﹣3或b=17．

7．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于

解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），

所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，

当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，

8．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则圆的面积为4π．

解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，

且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos60°=r，

即=r，解得r=2，∴圆的面积为4π．

9.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱

锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．

解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，

所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．

10.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为

解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，

平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，

即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

11.数列，，，…的前n项和为

解：由，，，…，而1，4，7，10，…，是公差为3的等差数列a n，可得通项公式a n=1+3（n ﹣1）=3n﹣2．

∴数列，，，…的第n项为：，可化为：，

∴数列，，，…的前n项和=++…+==．

12．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若，则•=．

解：如图所示，A（1，0），B（0，），C（0，0），∵，

∴D．∴=，=（0，），∴•=0+=．

故答案为：．

【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是

解：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，

则有即有，解得a ＜1．

【点评】本题考查函数的单调性的运用，注意分段函数的分界点，考查运算能力，属于中档题．

14.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________．

解析 直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)，

∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32

－1，即3x ＋y －3－1＝0.

兴化市第一中学xx 学期高二期初考试试卷

数 学 答 题 纸 张宇辉

成绩

一、填空题：（本大题有14小题，每小题5分，共70分。）

1、__________________；

2、__________________ ；

3、________________；

4、__________________ ；

5、__________________ ；

6、________________；

7、__________________ ； 8、__________________ ； 9、________________；

10、_________________； 11、_________________ ； 12、_______________；

13、_________________ ； 14、_________________

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15如图，在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF ∥面ACD （2）平面EFC ⊥面BCD